Identités remarquables

Nous avons déjà utilisé les identités remarquables dans beaucoup d’exercices.

Il est important de connaître les identités remarquables et de savoir les utiliser quand l’occasion se présente.

Nous n’avons pas parlé de binôme ou de polynôme mais nous pouvons utiliser le terme binôme dans ces identités.

1. Carré du binôme
\begin{split}
(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\
&=a^2+ab+ba+b^2\\
&=a^2+2ab+b^2
\end{split}

Finalement:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

De la même façon:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Exemples:
\begin{split}
(x+2)^2&=x^2+2\cdot x \cdot 2+2^2\\
&=x^2+4x+4
\end{split}

\begin{split}
(3x+5)^2&=(3x)^2+2\cdot 3x \cdot 5+5^2\\
&=9x^2+30x+25
\end{split}

\begin{split}
(2x-3b)^2&=(2x)^2-2\cdot 2x \cdot 3b+(3b)^2\\
&=4x^2-12bx+9b^2
\end{split}

On peut aussi noter que:

$a^2+2ab=(a+b)^2-b^2$

2. $(x+a)(x+b)$

\begin{split}
(x+a)(x+b)&=x^2+bx+ax+ab\\
&=x^2+(a+b)x+ab
\end{split}

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

$(x+7)(x-3)=x^2+4x-21$

3.Difference des carrés

$(a+b)(a-b)&=a^2+(b-b)a-b^2$

Ou on écrit:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(3x+4y)(3x-4y)=9x^2-16y^2$

4. Carré du trinôme:

\begin{split}
(a+b+c)^2&=(a+b)^2+2 \cdot (a+b)c+c^2\\
&=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\\
&=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
\end{split}

On a:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

\begin{split}
((2x)^2+25x+7)^2&=((2x)^2)^2+(25x)^2+7^2+2 \cdot (2x)^2 \cdot 25x+2 \cdot (2x)^2 \cdot 7+2 \cdot 25x \cdot 7\\
&=16x^4+625x^2+49+200x^3+56x^2+350x\\
&=16x^4+200x^3+681x^2+350x+49
\end{split}

Un simple arrangement du polynôme.

5.Cube du binôme:

\begin{split}
(a+b)^3&=(a+b)^2(a+b)\\
&=(a+b)(a^2+2ab+b^2)\\
&=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\
&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\end{split}

Finalement nous avons:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Nous pouvons aussi montrer que:

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Somme des cubes

Si nous calculons:

\begin{split}
a^3+b^3&=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2\\
&=(a+b)^3-3ab(a+b)\\
&=((a+b)^2-3ab)(a+b)\\
&=(a^2+2ab+b^2-3ab)(a+b)\\
&=(a+b)(a^2-ab+b^2)
\end{split}

Nous obtenons:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Factoriser: $125x^3+8y^3$

\begin{split}
125x^3+8y^3&=(5x)^3+(2y)^3\\
&=(5x+2y)(25x^2-10xy+4y^2)
\end{split}

On peut aussi montrer que:

\begin{split}
a^3-b^3&=(a+b)^3+3a^2b-3ab^2\\
&=(a-b)^3+3ab(a-b)\\
&=((a-b)^2+3ab)(a-b)\\
&=(a^2-2ab+b^2+3ab)(a+b)\\
&=(a-b)(a^2+ab+b^2)
\end{split}

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Une autre formule:

\begin{split}
(a+b+c)^3&=\left[(a+b)+c\right]^3\\
&=(a+b)^3+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2+c^3\\
&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2+c^3\\
&=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc
\end{split}

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc$