Formules trigonométriques et identités

Formules trigonométriques et identités

Nous avons pratiquement pris connaissance de beaucoup de formules trigonométriques. Il est temps de les mettre sur une liste et commencer à nous préparer dans la résolution des problèmes.

Dans certains des cas, nous allons ajouter des détails montrant comment nous sommes parvenus à certaines formules. des vidéos pourraient y figurer.

 

Trigonométrie du triangle rectangle

Pour un triangle ABC, rectangle en C,  \angle C=90^{\circ}

 

\cos A=\frac{adjacent side}{hypotenuse}=\frac{1}{\sec A}

\sin A=\frac{opposite side}{hypotenuse}=\frac{1}{\csc A}

\tan A=\frac{opposite side}{adjacent \;side}=\frac{1}{\cot A}=\frac{\sin A}{\cos A}

\sec A=\frac{hypotenuse}{adjacent \; side}=\frac{1}{\cos A}

\csc A=\frac{hypotenuse}{opposite \;side}=\frac{1}{\sin A}

\cot A=\frac{adjacent side}{opposite \;side}=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}

Ces relations sont connues. On ne fera que diviser les trois côtés du triangle par l’hypothenuse pour avoir le cercle trigonométrique de  rayon=1, l’hypothenuse.

 

Loi des cosinus

Pour un triangle quelconque:

{a}^2={b}^2+{c}^2-2 \cdot b \cdot c\cdot\cos{A}

{b}^2={a}^2+{c}^2-2 \cdot a \cdot c\cdot\cos{B}

{c}^2={a}^2+{b}^2-2 \cdot a \cdot b\cdot\cos{C}

 

Loi des sinus

\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}

 

Autres identités

\sin^{2} A+ \cos^{2} A=1

We can easely show:

1+\tan^{2} A= \sec^{2} A

1+\cot^{2} A= \csc^{2} A

 

 On peut facilement retrouver toutes ces formules sur le cercle unitaire.

Angles complémentaires:

Si A et B sont des angles complémentaires sum=90^{\circ}:

B=90^{\circ}-A

 

\sin A=\cos B

\sin B=\cos A

 

\sec A= \csc B

\sec B= \csc A

 

\tan A= \cot B

\tan B= \cot A

 

Formules d’addition et de soustraction

\sin (A+B)=\sin {A} \cos{B}+\cos {A} \sin {B}

\sin (A-B)=\sin {A} \cos{B}-\cos {A} \sin {B}

 

\cos (A+B)=\cos {A} \cos{B}-\sin {A} \sin {B}

\cos (A-B)=\cos {A} \cos{B}+\sin {A} \sin {B}

On les utilise pour trouver

\tan {(A+B)}=\frac{\tan {A}+ \tan {B}}{1-\tan {A} \tan{B}}

\tan {(A-B)}=\frac{\tan {A}- \tan {B}}{1+\tan {A} \tan{B}}

 

Angles doubles

From above when B=A

\sin {2A}=2\sin {A} \cos{A}

\cos {2A}=\cos^{2}A-\sin^{2}A

\tan {2A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2} A}

 

Arc-moitié

Quand B=A

\sin {\frac{A}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}

\cos {\frac{A}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}

\tan {\frac{A}{2}}=\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{\sin A}{1+\cos A}

 

Product à somme

Des formules précédentes :

\sin {A} \cos{B}=\frac{1}{2}(\sin (A+B)+\sin (A-B) )

\cos {A} \sin{B}=\frac{1}{2}(\sin (A+B)-\sin (A-B) )

\cos {A} \cos{B}=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B) )

\sin {A} \sin{B}=\frac{1}{2}(\cos (A-B)-\cos (A+B) )

 

Somme à produit

\sin {A} + \sin{B}=2\sin {\frac{A+B}{2}}\cos {\frac{A-B}{2}}

\sin {A} - \sin{B}=2\cos {\frac{A+B}{2}}\sin {\frac{A-B}{2}}

\cos {A} + \cos{B}=2\cos {\frac{A+B}{2}}\cos {\frac{A-B}{2}}

\cos {A} - \cos{B}=-2\sin {\frac{A+B}{2}}\sin {\frac{A-B}{2}}

 

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*