Fonctions polynomiales

Nous avions déjà parlé d’un polynôme particulier, la fonction quadratique. Dans les prochains chapitres, nous allons enrichir notre connissance en abordant d’autres types de polynômes. Le seul objectif étant de nous permettre de pouvoir manipuler ces fonctions dans nos taches quotidiennes.

Ce site s’occupe plus de la pratique que de la théorie. Nous savons que le monôme peut être un nombre, une variable ou une combinaison des deux.

Un polynôme est un monôme ou une combinaison de monômes.

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{2}x+a_{0}$

Dans cette function, $a_{n}\neq0$ , est le coefficient dominant, $n$ est le $degré$ .Nous constatons aussi que $a_{0}$ est une constante.
Les exposants sont des nombres entiers tandis que les coefficients sont des nombre réels

Polynôme:

$\pi x^{3}-6x^{2}-\sqrt{5}$

Pas un polynôme car certains exposants ne sont pas entiers:

$3^{x}-3x^{2}+9$

Operations sur les polynômes:

Substitution:

Exemple:Evaluer: $f(x)=3x^{5}-4x^{2}+8$ pour $x=2$

Nous vons: $f(2)=3\times 2^{5}-4\times 2^{2}+8$

(1) $\begin{equation*} \begin{split} f(2)&=3\times 2^{5}-4\times 2^{2}+8\\ &=3\times 32-4\times 4+8\\&=96-16+8\\ &=88 \end{split} \end{equation*}$

Addition et soustraction de polynômes

Pour faire l’addition ou la soustraction de polynômes,on fait l’addition ou la soustraction des termes semblables.
Add: $2x^{3}+x^{2}+3x+2$ and $x^{6}+x^{4}+3x^{2}+2$

Addition des termes semblables:

$x^{6}+x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+3x+2$

Multiplication des polynômes

Pour multiplier deux polynômes, on multiplie chauqe terme du premier par chaque terme du second.

Nous avons effectuer ce genre de multiplication dans les calculs des identités remarquables.

(2) $\begin{equation*} \begin{split} (2x+5)(3x^{2}-5x+2)&=(2x)(3x^{2})+(2x)(-5x)+(2x)(2)+5(3x^{2})+5(-5x)+5(2)\\ &=6x^{3}-10x^{2}+4x+15x^{2}-25x+10\\ &=6x^{3}+(-10+15)x^{2}+(4-25)x+10\\ &=6x^{3}+5x^{2}-21x+10 \end{split} \end{equation*}$

Mise en facteurs d’un polynôme

Une factorisation d’un polynôme consiste à l’écrire sous la forme de facteurs irreductibles

Exemple:

Factoriser $x^{3}+2x^{2}-15x$

(3) $\begin{equation*} \begin{split} x^{3}+2x^{2}-15x &=x(x^{2}+2x-15)\\ &=x(x^{2}+5x-3x-15)\\ &=x[x(x+5)-3(x+5)\\ &=x(x-3)(x+5) \end{split} \end{equation*}$

Ici en regroupant.

Un autre exemple:
Factoriser: $x^{3}-3x^{2}-16x+48$

(4) $\begin{equation*} \begin{split} x^{3}-3x^{2}-16x+48&=x^{2}(x-3)-16(x-3)\\ &=(x^{2}-16)(x-3)\\ &=(x+4)(x-4)(x-3) \end{split} \end{equation*}$

Fonction puissance:

Une fonction de la forme: $f(x)=ax^{n}$

Avec cette fonction,le coefficient est un nombre réel $a\neq 0$ , et $n>0$ est un entier.

Quelques propriétés importantes:

Si $n>0$ et $n$ est pair nous avons:-Une fonction $paire$ . Symetrie par rapport à l’axe des y.-Le domaine est est l’ensemble des nombres nonnegatifs.

-Le graphique contient ces quelques points $(0,0)$ , $(-1,1)$ and $(1,1)$

Si $n>0$ et $n$ est impair:-La fonction est dite $impaire$ .

Ici il y a symétrie pa rapport à l’origine.-Le domaine est ici aussi l’ensmble de tous les réels.

-Le graphique contient ces quelques points $(0,0)$ , $(-1,1)$ and $(1,1)$

Trouver les zeros d’un polynôme

ZEROS REELS:

un polynôme de degré $n$ ne peut avoir un nombre de racines supérieur à $n$

Exemple: $f(x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}-8$

ne peut avoir un nombre de racines supérieur à 4.

Théorême des zeros rationnels:

Pour:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ , si $a_{n}\neq 0$ and $a_{0}\neq 0$

por tous les coefficients, lorsque $\frac{p}{q}$ est un zero de $f$ alors $p$ est un facteur de $a_{0}$ et $q$ un facteur de $a_{n}$ .

Exemple:

$f(x)=2x^{4}-7x^{3}+x-8$

Nous avons $a_{0}=-8$ les $p$ facteurs sont $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$

$a_{4}=2$ the $q$ factors are $\pm 1$ , $\pm 2$

Nous essayons toutes les combinaisons $\frac{p}{q}$

$\pm 1$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$

THEOREME: Une fonction polynomiale de degré impair ayant des coefficients réels a au moins un zero réel.

THEOREME: Pour une fonction polynomiale $f$ . si $a<b$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors il existe au moins un zero de $f$ entre $a$ et $b$ .

Racines complexes:une fonction polynomiale complexe $f$ de degré $n\geq 0$ a au moins un zero complexe.

Une fonction polynomiale $f$ de degré impair ayant des coefficients réels a au moins un zero réel.

TSolutions de la fonction cubique: Formule de Girolamo Cardano

Les considerations qui suivent vont nous aider à trouver les solutions de l’équation de troisième degré.

Nous examinerons des cas variés.

Solutions Trigonometriques:

On donne:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Reduisons l’équation

$x=y-\frac{b}{3a}$

On procède à la substitution:

$a(y-\frac{b}{3a})^{3}+b(y-\frac{b}{3a})^{2}+c(y-\frac{b}{3a})+d=0$

$ay^{3}+(c-\frac{b^{2}}{3a})y+(d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a})=0$

On obtient:

$y^{3}+py+q=0$

A noter que quand $q=0$ , on fait une simple deduction des 3 valeurs de $x$ à partir de $y$ .

Premier cas: Quand $p<0$ et $27q^{2}+4p^{3}<0$

On obtient:

$y=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta$

En remplaçant $z$ dans l’équation:

$\left(\sqrt{-\frac{4p}{3}}\right)^{3}\cos^{3} \theta+p\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta+q=0$

$\sqrt{16\frac{p^{2}}{9}(-\frac{4p}{3}})\cos^{3} \theta+p\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta=-q$

$4\sqrt{-\frac{4p^{3}}{27}}\cos^{3} \theta+\sqrt{-\frac{4p^3}{3}}\cos \theta=-q$

$4\sqrt{-\frac{4p^{3}}{27}}\cos^{3} \theta+3\sqrt{-\frac{4p^2}{27}}\cos \theta=-q$

Une petite division donne:

$4\cos^{3} \theta-3\cos \theta=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}$

Simplifions le premier membre:

(5) $\begin{equation*} \begin{split} 4\cos^{3} \theta-3\cos \theta &=\cos^{3} \theta+3\cos^{3} \theta-3\cos \theta\\ &=\cos^{2} \theta \cos \theta+3\cos \theta(\cos^{2} \theta-1)\\ &=\cos^{2} \theta \cos \theta-3\cos \theta(1-\cos^{2} \theta)\\ &=\cos^{2} \theta \cos \theta-3\cos \theta \sin^{2} \theta\\ &=\cos \theta (\cos^{2} \theta-3\sin^{2} \theta)\\ &=\cos \theta (\cos^{2} \theta- \sin^{2} \theta-2\sin^{2} \theta)\\ &=\cos \theta (\cos (2\theta)-2\sin^{2} \theta)\\ &=\cos (2\theta) \cos \theta-2\sin^{2} \theta \cos \theta\\ &=\cos (2\theta) \cos \theta-2\sin \theta \cos \theta \sin \theta\\ &=\cos (2\theta) \cos \theta-\sin (2\theta) \sin \theta\\ &=\cos (2\theta +\theta)\\ &=\cos (3\theta) \end{split} \end{equation*}$

Nous obtenons:

$\cos (3\theta)=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}$

On porra alors trouver $theta$ , $y$ and $x$ .

Second cas: Lorsque $p<0$ et $27q^{2}+4p^{3}>0$

Nous posons:

$y=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cosh \theta$

La transformation donne:

$4\cosh^{3} \theta-3\cosh \theta=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}$

et:

$\cosh (3\theta)=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}$

Troisième cas: Lorsque $p>0$

Nous obtenons

$y=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\sinh \theta$

La transformation donne:

$4\sinh^{3} \theta+3\sinh \theta=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}$

Et:

$\sinh (3\theta)=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}$

Méthode trigonométrique pour les complexes conjugués:

De la forme

$y^{3}+py+q=0$

Avec

$x=y-\frac{b}{3a}$

Prmier cas: Avec $p<0$

On Calcule $\theta$ and $\phi$

$\sin \theta=-\frac{2p}{3q}\sqrt{-\frac{p}{3}}$

Alors

$\tan \phi=\sqrt[3]{\tan (\frac{\theta}{2})}$

les valeurs de $y$ :

$\begin{cases}y1=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}\\y2=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}-i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\\y3=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}+i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\end{cases}$

Pour les valeurs de $x$ on effectue $x=y-\frac{b}{3a}$

Second cas:Avec $p>0$

On cherche $\theta$ and $\phi$

$\tan \theta=\frac{2p}{3q}\sqrt{\frac{p}{3}}$

Alors:

$\tan \phi=\sqrt[3]{\tan (\frac{\theta}{2})}$

Les valeurs de $y$ :

$\begin{cases}y1=-2\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}\\y2=\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}-i\frac{\sqrt{p}}{\sin (2\phi)}\\y3=\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}+i\frac{\sqrt{p}}{\sin (2\phi)}\end{cases}$

Pour $x$ On effectue $x=y-\frac{b}{3a}$

Autres Chemins:

On utilise un cheminement similaire mais avec plus de détails:

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

On procède de la même façon.

Nous avons

$x^{3}+(b-\frac{a^{2}}{3})x+\frac{a}{27}(2a^{2}-9b)+c=0$

La forme

$x^{3}+px+q=0$

On cherche $p$ et $q$

$p=b-\frac{a^{2}}{3}$

Et puis

$q=\frac{a}{27}(2a^{2}-9b)+c$

Ensuite nous cherchons $u$ et $v$

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}$

$v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}$

On en déduit les 3 racines:

$x_{1}=u+v-\frac{a}{3}$

$x_{2}=(-\frac{u}{2}-\frac{v}{2}-\frac{a}{3})+ \frac{1}{2}i\sqrt{3}(u-v)$

$x_{3}=(-\frac{u}{2}-\frac{v}{2}-\frac{a}{3})+ \frac{1}{2}i\sqrt{3}(u-v)$

Avec D comme:

$D=4p^{3}+27q^2$

Si $D>0$ , Nous avons une racine réelle et 2 racines complexes.

Si $D=0$ , nous avons une racine $\frac{3q}{p}$ et une racine double $\frac{-3q}{p}$

Si $D<0$ , 3 racines réelles.

Exemples:

1.Trouver les solutions de : $4x^{5}-40x^{3}+36x=0$

Solution

Factorisant par $4x$

On a: $4x(x^{4}-10x^{2}+9)=0$

Factorisons: $x^{4}-10x^{2}+9$

(6) $\begin{equation*} \begin{split} x^{4}-10x^{2}+9&=x^{4}-x^{2}-9x^{2}+9\\ &=x^{2}(x^{2}-1)-9(x^{2}-1)\\ &=(x^{2}-9)(x^{2}-1)\\ &=(x+3)(x-3)(x+1)(x-1) \end{split} \end{equation*}$

En assemblant: $4x(x^{4}-10x^{2}+9)=0$

Cela veut dire que : $4x((x^{4}-10x^{2}+9)=0$ $4x(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)=0$

Chaque facteur vérifie l’égalité.

$4x=0 \Leftrightarrow x=0$

$x+3=0 \Leftrightarrow x=-3$

$x-3=0 \Leftrightarrow x=3$

$x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$

$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$

Les 5 solutions

Réponse: $\{-3,-1,0,1,+3\}$

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Signes des zeros d’un polynôme

Règle de Descartes

Si $f$ est une fonction polynomiale:

-Le nombre des zeros positifs réels de $f$ est soit égal au nombre de variations des signes des coefficients non-nuls de $f(x)$ ou alors de ce nombre diminué d’un entier pair.

-Le nombre des zeros négatifs réels de $f$ est soit égal au nombre de variations des signes des coefficients non-nuls de $f(-x)$ ou alors de ce nombre diminué d’un entier pair.

Exemple:

$f(x)=x^{5}-5x^{4}+12x^{3}-24x^{2}+32x-16$

-Au moins 5, 3 ou 1zeros positifs.(5 changements de signes)

$f(x)=-x^{5}-5x^{4}-12x^{3}-24x^{2}-32x-16$

-Pas de variation de signes de $f(-x)$ . Pas de racine négative.

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