Solutions de la Fonction Cubique

August 2, 2017 Mouctar Algèbre 0

Solutions de la Fonction Cubique

Beaucoup des cas qui suivent ont été déjà coverts.

Nous allons prendre le cas par cas de la fonction cubique et des solutions possibles.

Soit:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

Une réduction de la fonction nous donne:

x=z-\frac{b}{3a}

On utilise la substitution:

a(z-\frac{b}{3a})^{3}+b(z-\frac{b}{3a})^{2}+c(z-\frac{b}{3a})+d=0

a(z^{3}-3z^{2}\frac{b}{3a}+3z(\frac{b}{3a})^{2}-(\frac{b}{3a})^{3})+b(z^{2}-2z\frac{b}{3a}+(\frac{b}{3a})^{2})+cz-\frac{bc}{3a}+d=0

az^{3}-3az^{2}\frac{b}{3a}+3az(\frac{b}{3a})^{2}-a(\frac{b}{3a})^{3}+bz^{2}-2bz\frac{b}{3a}+b(\frac{b}{3a})^{2})+cz-\frac{bc}{3a}+d=0

az^{3}-z^{2}\frac{3ab}{3a}+3az\frac{b^{2}}{9a^{2}}-a\frac{b^{3}}{27a^{3}}+bz^{2}-z\frac{2b^{2}}{3a}+b\frac{b^{2}}{9a^{2}}+cz-\frac{bc}{3a}+d=0

En simplifiant:

az^{3}-bz^{2}+z\frac{b^{2}}{3a}-\frac{b^{3}}{27a^{2}}+bz^{2}-z\frac{2b^{2}}{3a}+\frac{b^{3}}{9a^{2}}+cz-\frac{bc}{3a}+d=0

On met les termes semblables en facteurs et on élimine ceux qui s’ennulent.

az^{3}+(\frac{b^{2}}{3a}-\frac{2b^{2}}{3a}+c)z-\frac{b^{3}}{27a^{2}}+\frac{b^{3}}{9a^{2}}-\frac{bc}{3a}+d=0

az^{3}+(c-\frac{b^{2}}{3a})z+(d+\frac{2b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a})=0

En divisant par a nous avons:

p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}

Et

q=\frac{27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}

L’Equation qui en résulte est:

z^{3}+pz+q=0

A noter que quand q=0, on peut simplement en déduire les 3 valeurs de x des valeurs de z.

Une situation idéale dans laquelle x^{2} n’existe plus.

Posons:

z=s+t

On a:

(s+t)^{3}+p(s+t)+q=0

s^{3}+3s^{2}t+3st^{2}+t^{3}+p(s+t)+q=0

s^{3}+t^{3}+3st(s+t)+p(s+t)+q=0

Nous voyons que:

3st=-p and s^{3}+t^{3}=-q pourra ennuler l’équation.

\begin{cases}st=-\frac{p}{3}\\s^{3}+t^{3}=-q \end{cases}

En élévant au cube:

\begin{cases}s^{3}t^{3}=-\frac{p}{3}\\s^{3}+t^{3}=-q \end{cases}

Soit maintenant:

u=s^{3} and v=t^{3}

Nous avons:

\begin{cases}uv=-\frac{p}{3}\\u+v=-q \end{cases}

Pour la résolution nous aurons:

\Delta=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}

If \Delta>0 , the equation has one real root and 2 complex roots

If \Delta=0 , the equation has one root \frac{3q}{p} and a double root \frac{-3q}{2p}

If \Delta<0 , the equation has three real roots

Le Cas:  p=0

z^{3}+q=0

Racines complexes:

z^{3}=-q

z^{3}=-q+0i

\theta=0+2k\pi=2k\pi with k=0,1,2

If z^{3}=-qe^{2k\pi i}

Nous obtenons:

z=\sqrt[3]{-p}e^{\frac{2k\pi}{3}i}

x_1=\sqrt[3]{-p}-\frac{b}{3a}

x_2=\sqrt[3]{-p}\cos (\frac{2\pi}{3})-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-p}\sin(\frac{2\pi}{3})i

x_3=\sqrt[3]{-p}\cos (\frac{4\pi}{3})-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-p}\sin(\frac{4\pi}{3})i

Le Cas: q=0

z^{3}+pz=0

z(z^{2}+p)=0

z_{1}=0

if p>0

z_{2}=\sqrt{p}i

z_{3}=-\sqrt{p}i

x_{1}=-\frac{b}{3a}

x_{2}=-\frac{b}{3a}+\sqrt{p}i

x_{3}=-\frac{b}{3a}-\sqrt{p}i

Si p<0

z_{2}=\sqrt{-p}

z_{3}=-\sqrt{-p}

x_{1}=-\frac{b}{3a}

x_{2}=-\frac{b}{3a}+\sqrt{-p}

x_{3}=-\frac{b}{3a}-\sqrt{-p}

Le Cas: \Delta=0

u=v=-\frac{q}{2}

Qui signifie que:

\frac{p^{3}}{27}=-\frac{q^2}{4} Meaning p<0

Nous obtenons les solutions suivantes:

\begin{cases}z_{1}=\frac{3q}{p}\\z_{2}=z_{3}=-\frac{3q}{2p} \end{cases}

Nous utilisons:

x=z-\frac{b}{3a} to get x

Le Cas \Delta<0

Nous procedons comme suit:

y=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta

Quand on remplace z dans l’équation:

\left(\sqrt{-\frac{4p}{3}}\right)^{3}\cos^{3} \theta+p\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta+q=0

\sqrt{16\frac{p^{2}}{9}(-\frac{4p}{3}})\cos^{3} \theta+p\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos \theta=-q

4\sqrt{-\frac{4p^{3}}{27}}\cos^{3} \theta+\sqrt{-\frac{4p^3}{3}}\cos \theta=-q

4\sqrt{-\frac{4p^{3}}{27}}\cos^{3} \theta+3\sqrt{-\frac{4p^2}{27}}\cos \theta=-q

Une simple division donne:

4\cos^{3} \theta-3\cos \theta=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}

Nous simplifions le membre de gauche:

(1)   \begin{equation*}\begin{split}4\cos^{3} \theta-3\cos \theta &=\cos^{3} \theta+3\cos^{3} \theta-3\cos \theta\\&=\cos^{2} \theta \cos \theta+3\cos \theta(\cos^{2} \theta-1)\\&=\cos^{2} \theta \cos \theta-3\cos \theta(1-\cos^{2} \theta)\\&=\cos^{2} \theta \cos \theta-3\cos \theta \sin^{2} \theta\\&=\cos \theta (\cos^{2} \theta-3\sin^{2} \theta)\\&=\cos \theta (\cos^{2} \theta- \sin^{2} \theta-2\sin^{2} \theta)\\&=\cos \theta (\cos (2\theta)-2\sin^{2} \theta)\\&=\cos (2\theta) \cos \theta-2\sin^{2} \theta \cos \theta\\&=\cos (2\theta) \cos \theta-2\sin \theta \cos \theta \sin \theta\\&=\cos (2\theta) \cos \theta-\sin (2\theta) \sin \theta\\&=\cos (2\theta +\theta)\\&=\cos (3\theta)\end{split}\end{equation*}

On en déduit que:

\cos^{3} \theta=\frac{1}{4}\cdot \cos 3\theta+\frac{3}{4}\cdot \cos \theta

Si nous posons:

z=K\cdot \cos \theta

De notre Equation nous aurons:

K^{3}\cdot \cos^{3} \theta+ p\cdot K \cdot \cos \theta+q=0

En remplaçant:

K^{3}(\frac{1}{4}\cdot \cos 3\theta+\frac{3}{4}\cdot \cos \theta)+p\cdot K \cdot \cos \theta+q=0

K(\frac{3}{4}K^{2}+p)\cos \theta+(\frac{K^{3}}{4}\cos 3\theta+q)=0

Les mêmes techniques nous donnent:

\begin{cases} \frac{3}{4}K^{2}+p=0\\ \frac{K^{3}}{4}\cos 3\theta+q \end{cases}

p<0

K=\sqrt{-\frac{4p}{3}}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}

\cos 3\theta=-\frac{4q}{K^{3}}

\cos (3\theta)=\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}} Remember p<0

3\theta=\phi+2k\pi \Rightarrow \theta=\frac{\phi+2k \pi}{3} with k=0,1,2

Les Solutions:

z_{1}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi}{3})

z_{2}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi+2\pi}{3})

z_{3}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi+4\pi}{3})

Nous pouvons en déduire les valeurs de  x.

x_{1}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi}{3})-\frac{b}{3a}

x_{2}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi+2\pi}{3})-\frac{b}{3a}

x_{3}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi+4\pi}{3})-\frac{b}{3a}

Le Cas: \Delta>0

Avec p<0 

Nous obtenons:

z=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cosh \theta

La même transformation nous donne:

4\cosh^{3} \theta-3\cosh \theta=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}

Et par la suite:

\cosh (3\theta)=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}

Avec p>0 

Nous obtenons

z=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\sinh \theta

La même transformation nous donne:

4\sinh^{3} \theta+3\sinh \theta=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}

Et puis:

\sinh (3\theta)=-q\sqrt{-\frac{27}{4p^{3}}}

 

Règle Générale por toutes les solutions y compris les complexes conjugués:

De l’Equation:

 z^{3}+pz+q=0

 Avec:

x=z-\frac{b}{3a}

 

Premier cas: Avec p<0

On calcule \theta and \phi

\sin \theta=-\frac{2p}{3q}\sqrt{-\frac{p}{3}}

Maintenant:

\tan \phi=\sqrt[3]{\tan (\frac{\theta}{2})}

Les valeurs de z:

\begin{cases}z_{1}=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}\\z_{2}=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}-i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\\z_{3}=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}+i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\end{cases}

Pour les valeurs de x nous effectuons x=z-\frac{b}{3a}

\begin{cases}x_{1}=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}-\frac{b}{3a}\\x_{2}=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}-\frac{b}{3a}-i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\\x_{3}=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}-\frac{b}{3a}+i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\end{cases}

Second cas: Avec p>0

Nous calculons \theta and \phi

\tan \theta=\frac{2p}{3q}\sqrt{\frac{p}{3}}

Maintenant:

\tan \phi=\sqrt[3]{\tan (\frac{\theta}{2})}

Les valeurs de  z:

\begin{cases}z_{1}=-2\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}\\z_{2}=\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}-i\frac{\sqrt{p}}{\sin (2\phi)}\\z_{3}=\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}+i\frac{\sqrt{p}}{\sin (2\phi)}\end{cases}

Pour les valeurs de x nous effectuons x=z-\frac{b}{3a}

\begin{cases}x_{1}=-2\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}-\frac{b}{3a}\\x_{2}=\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}-\frac{b}{3a}-i\frac{\sqrt{p}}{\sin (2\phi)}\\x_{3}=\sqrt{\frac{p}{3}}\frac{1}{\tan (2\phi)}-\frac{b}{3a}+i\frac{\sqrt{p}}{\sin (2\phi)}\end{cases}

Exemple 1:

Trouver les solutions de:

10x^{3}+37x^{2}-126x+72=0

Solution:

Au lieu de faire des essais multiples entre 72 et 10 avec leurs facteurs premiers, nous allons appliquer les méthodes ci-dessus.

Pour éviter les grands nombres, divisons l’équation par 10.

Nous avons:

x^{3}+3.7x^{2}-12.6x+7.2=0

Nous avons les coefficients suivants:

a=1

b=3.7

c=-12.6

d=7.2

Calculons p et q

x=z-\frac{b}{3a}

x=z-\frac{3.7}{3}

p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}

p=\frac{3\times 1 \times (-12.6)-3.7^{2}}{3\times 1}

p=-\frac{51.49}{3}

q=\frac{27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}

q=\frac{27\times 1 \times 7.2-9\times 1 \times 3.7 \times (-12.6)+2\times (3.7)^3}{27 \times 1}

q=\frac{715.286}{27}

Gardons la forme fractionnaire pour ne pas perdre la précision.

Maintenant:

\Delta=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}

 \Delta=\frac{(\frac{715.286}{27})^{2}}{4}+\frac{(\frac{-51.49}{3})^{3}}{27}

\Delta \approx -11.8

C’est le cas: \Delta<0

Utilisons la méthode équivalente:

\cos (3\theta)=\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}

\cos (3\theta)=\frac{3\times 715.286\times 3}{-51.49\times 2\times 27}\sqrt{-\frac{3\times 3}{-51.49}}

\cos (3\theta)=-0.9679777787\Leftrightarrow (3\theta)=165.46111825 in degrees

\frac{\phi}{3}=55.15372749

\frac{\phi}{3}+120=175.15372749

\frac{\phi}{3}+240=295.15372749

Les solutions:

x_{1}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi}{3})-\frac{b}{3a}

x_1=2\sqrt{-\frac{-51.49}{9}}\cos (55.15372749)-\frac{3.7}{3}

x_1=1.5

x_{2}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi+2\pi}{3})-\frac{b}{3a}

x_2=2\sqrt{-\frac{-51.49}{9}}\cos (175.15372749)-\frac{3.7}{3}

x_2=-6

x_{3}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot \cos (\frac{\phi+4\pi}{3})-\frac{b}{3a}

x_3=2\sqrt{-\frac{-51.49}{9}}\cos (295.15372749)-\frac{3.7}{3}

x_3=0.8

Finalement les solutions sont:

Réponse: \frac{3}{2}, -6 and \frac{4}{5}

Exemple 2:

Trouver les solutions de:

50x^{3}-15x^{2}-12x+4=0

Solution:

Au lieu de faire des essais multiples entre 4 et 50 avec leurs facteurs premiers, nous allons appliquer les méthodes ci-dessus.

Pour éviter les grands nombres, divisons l’équation par 50.

Nous avons:

x^{3}-0.3x^{2}-0.24x+0.08=0

Nous avons les coefficients suivants:

a=1

b=-0.3

c=-0.24

d=0.08

Calculons p and q

x=z-\frac{b}{3a}

x=z+\frac{0.3}{3}=z+0.1

On remplace

x^{3}-0.3x^{2}-0.24x+0.08=0

(z+0.1)^{3}-0.3(z+0.1)^{2}-0.24(z+0.1)+0.08=0

z^{3}+0.3z^{2}+0.03z+0.001-0.3z^{2}-0.06z-0.003-0.24z-0.024+0.08=0

L’exposent z^{2} n’existe plus.

z^{3}+(0.03-0.06-0.24)z+0.001-0.003-0.024+0.08=0

z^{3}-0.27z+0.054=0

Ici:

p=-0.27

q=0.054

Examinons la valeur de \Delta

\Delta=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}

 \Delta=\frac{(0.054)^{2}}{4}+\frac{(0.27)^{3}}{27}

\Delta =0.000729-0.00729=0

C’est le cas où \Delta=0

Nous avons les solutions suivantes:

\begin{cases}z_{1}=\frac{3q}{p}\\z_{2}=z_{3}=-\frac{3q}{2p} \end{cases}

\begin{cases}z_{1}=\frac{3\times 0.054}{-0.27}\\z_{2}=z_{3}=-\frac{3\times 0.054}{2\times (-0.27)} \end{cases}

\begin{cases}z_{1}=-\frac{54}{90}\\z_{2}=z_{3}=\frac{3\times 0.027}{0.27} \end{cases}

\begin{cases}z_{1}=-\frac{6}{10} \Rightarrow x=-\frac{6}{10}+\frac{1}{10}\\z_{2}=z_{3}=\frac{3}{10} \Rightarrow x=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\end{cases}

\begin{cases}x_{1}=-\frac{5}{10}\\x_{2}=x_{3}=\frac{4}{10}\end{cases}

Finalement les solutions sont:

Réponse: \{-\frac{1}{2}, \frac{2}{5} and \frac{2}{5}\}

Exemple 3:

Trouver les solutions de:

x^{3}+x^{2}-4x+6=0

Solution:

Au lieu de faire des essais multiples entre 6 et 1 avec leurs facteurs premiers, nous allons appliquer les méthodes ci-dessus.

Nous avons les coefficients suivants:

a=1

b=1

c=-4

d=6

Calculons p and q

x=z-\frac{b}{3a}

x=z-\frac{1}{3}

On remplace:

x^{3}+x^{2}-4x+6=0

(z-\frac{1}{3})^{3}+(z-\frac{1}{3})^{2}-4(z-\frac{1}{3})+6=0

z^{3}-3z^{2}\cdot \frac{1}{3}+3z\cdot (\frac{1}{3})^{2}-(\frac{1}{3})^{3}+z^{2}-\frac{2z}{3}+(\frac{1}{3})^{2}-4z+\frac{4}{3}+6=0

z^{3}+(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{12}{3})z-\frac{1}{27}+\frac{1}{9}+\frac{22}{3}=0

z^{3}+(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{12}{3})z-\frac{1}{27}+\frac{3}{27}+\frac{192}{27}=0

z^{3}-\frac{13}{3}z+\frac{200}{27}=0

p=-\frac{13}{3}<0

q=\frac{200}{27}

\Delta=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}

\Delta=(\frac{200}{27})^{2}\cdot \frac{1}{4}+(\frac{13}{3})^{3}\cdot \frac{1}{27}

\Delta \approx 10.7>0

Si \Delta>0 , l’équation a une racine réelle et deux racines complexes.

p=-\frac{13}{3}<0

Calculons \theta and \phi

\sin \theta=-\frac{2p}{3q}\sqrt{-\frac{p}{3}}

\sin \theta=-\frac{2\times (-13) \times 27}{3 \times 3 \times 200}\sqrt{-\frac{(-13)}{3\times 3}}

\sin \theta=0.468721666 \Leftarrow \theta=27.95134905

Maintenant:

\tan \phi=\sqrt[3]{\tan (\frac{\theta}{2})}

\tan \phi=\sqrt[3]{\tan(\frac{27.95134905}{2})}

\tan \phi=0.629015931 \Leftarrow \phi=32.17054686

Les valeurs de z:

\begin{cases}z_{1}=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}\\z_{2}=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}-i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\\z_{3}=\sqrt{-\frac{p}{3}}\frac{1}{\sin (2\phi)}+i\frac{\sqrt{-p}}{\tan (2\phi)}\end{cases}

Pour les valeurs de x:

\begin{cases}x_{1}=-2\sqrt{-\frac{-13}{3\times 3}}\frac{1}{\sin (64.34109373)}-\frac{1}{3}\\x_{2}=\sqrt{-\frac{-13}{3\times 3}}\frac{1}{\sin (64.34109373)}-\frac{1}{3}-i\frac{\sqrt{-\frac{-13}{3}}}{\tan (64.34109373)}\\x_{3}=\sqrt{-\frac{-13}{3\times 3}}\frac{1}{\sin (64.34109373)}-\frac{1}{3}-i\frac{\sqrt{-\frac{-13}{3}}}{\tan (64.34109373)} \end{cases}

Nous avons

\begin{cases}x_{1}=-3\\x_{2}=1-i\\x_{3}=1+i \end{cases}

Finalement les solutions sont:

Réponse: \{-3, 1-i and 1+i\}

 Autres méthodes par division

Voir les documents qui suivent:

Exemple 1:

Trouver les solutions de:

10x^{3}+37x^{2}-126x+72=0

Solution:

Exemple 2:

Trouver les solutions de:

50x^{3}-15x^{2}-12x+4=0

Solution:

Exemple 3:

Trouver les solutions de:

x^{3}+x^{2}-4x+6=0

Solution:

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