Fonctions hyperboliques

Nous avons déjà utilisé les fonctions hyperboliques dans certains de nos passages.

Ce qui suit n’est qu’un sommaire qui pourra nous permettre d’utiliser ces fonctions dans des passages qui suivront.

Nous examinerons leurs définitions et nous utiliserons les similarités avec les fonctions trigonométriques pour voir la plupart des formules.

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Fonction cosinus hyperbolique

Le $Cosinus\;hyperbolique$ que l’on note $\cosh$ se définit comme suit:

$\cosh x=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})$

Cette simple formule sera utilisée pour définir d’autres fonctions hyperboliques.

La fonction sinus hyperbolique

Le $Sinus\;Hyperbolique$ noté $\sinh$ se définit comme suit:

$\sinh x=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$

Cette simple formule sera utilisée pour définir d’autres fonctions hyperboliques.

Autres fonctions hyperboliques

Sans surprise nous pouvons écrire:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$

Nous trouvons

$\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$

A noter que:

$\coth x=\frac{1}{\tanh x}$

Si l’on note
$\begin{cases}x=a \cdot \cosh t\\y=b \cdot \sinh t \end{cases}$

Quand $t$ change dans l’ensemble des réels, les points $(x,y)$ suivent une branche de l’hyperbole.

Trigonométrie hyperbolique

$\cosh x + \sinh x=e^{x}$

$\cosh x - \sinh x=e^{-x}$

$\cosh^{2} x - \sinh^{2} x=1$ Ceci montre que $\cosh x \geq 1$

On peut aussi montrer que:

$1-\tanh^{2} x=\frac{1}{\cosh^{2} x}$

Formules d’addition

Les relations ci-dessus montrent que:

$\cosh (a+b)=\cosh a \cosh b+ \sinh a \sinh b$

$\cosh (a+b)=\cosh a \cosh b- \sinh a \sinh b$

$\sinh (a+b)=\sinh a \cosh b+ \cosh a \sinh b$

$\sinh (a+b)=\sinh a \cosh b- \cosh a \sinh b$

Angle double:

$\cosh 2a=\cosh^{2} a + \sinh^{2} a=2\cosh^{2} a -1=1+2\sinh^{2} a$

$\sinh 2a=2\sinh a \cosh a$

Poue les tangentes:

$\tanh (a+b)=\frac{\tanh a +\tanh b}{1+ \tanh a \tanh b}$

$\tanh (a-b)=\frac{\tanh a -\tanh b}{1- \tanh a \tanh b}$

$\tanh (2a)=\frac{2\tanh a}{1+ \tanh^{2} a}$

Formules de Transformation

Les formules ci-dessus montrent que:

$\cosh a \cosh b=\frac{1}{2}[\cosh (a+b)+ \cosh (a-b)]$

$\sinh a \cosh b=\frac{1}{2}[\sinh (a+b)+ \sinh (a-b)]$

$\sinh a \sinh b=\frac{1}{2}[\cosh (a+b)- \cosh (a-b)]$

$\cosh^{2} a=\frac{\cosh (2a)+1}{2}$

$\sinh^{2} a=\frac{\cosh (2a)-1}{2}$

$\cosh p+ \cosh q=2\cosh \frac{p+q}{2}\cosh \frac{p-q}{2}$

$\cosh p- \cosh q=2\sinh \frac{p+q}{2}\sinh \frac{p-q}{2}$

$\sinh p+ \sinh q=2\sinh \frac{p+q}{2}\cosh \frac{p-q}{2}$

$\sinh p- \sinh q=2\sinh \frac{p-q}{2}\cosh \frac{p+q}{2}$

Si l’on pose $t=\tanh \frac{x}{2}$

Nous obtenons de ce qui précéde:

$\tanh x=\frac{2t}{1+t^{2}}$

$\cosh x=\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}$

$\sinh x=\frac{2t}{1-t^{2}}$

Fonctions hyperboliques Inverses:

Soit $y=\cosh x$

Nous pouvons écrire:

$x=\cosh^{-1} y$ with $x \in [0, +\infty)$

Mais on sait que:

$e^{x}=\cosh x + \sinh x=\cosh x+ \sqrt{\cosh^{2} x-1}$

En remplaçant:

$e^{x}=y+\sqrt{y^{2}-1}$

Prenant le $LOG$ des deux membres:

$x=\ln (y+\sqrt{y^{2}-1})$

Soit $y=\sinh x$

On peut écrire:

$x=\sinh^{-1} y$ with $x \in [0, +\infty)$

Mais on sait que:

$e^{x}=\cosh x + \sinh x=\sinh x+ \sqrt{\sinh^{2} x+1}$

En remplaçant:

$e^{x}=y+\sqrt{y^{2}+1}$

Prenant le $LOG$ des deux membres:

$x=\ln (y+\sqrt{y^{2}+1})$

Problème 1:

Prouver l’égalité:

$\cosh (a+b)=\cosh a \cosh b+ \sinh a \sinh b$

Solution

Pour résoudre ce problème nous utiliserons les formules qui suivent:

$\cosh x=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})$

$\sinh x=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$

$\cosh x+\sinh x=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})+\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$

$\cosh x+\sinh x=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}+e^{x}-e^{-x})$

$\cosh x+\sinh x=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{x})$

$\cosh x+\sinh x=\frac{1}{2}(2e^{x})$

$\cosh x+\sinh x=e^{x}$

$\cosh (-x)=\frac{1}{2}(e^{-x}+e^{+x})\Rightarrow \cosh (-x)=\cosh x$

$\cosh (-x)=\cosh (x)$

On peut aussi prouver de la même manière que:

$\sinh (-x)=-\sinh (x)$

De retour à la formule:

$<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://www.mouctar.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de48e92d003a153757e4f1a55fb0abad_l3.png" height="258" width="664" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*}\cosh (x+y)&=\frac{1}{2}(e^{x+y}+e^{-(x+y)})\\&= \frac{1}{2}(e^{x}e^{y}+e^{-x}e^{-y})\\&=\frac{1}{2}((\cosh x+ \sinh x)(\cosh y+ \sinh y)+(\cosh x- \sinh x)(\cosh y- \sinh y)) \\&=\frac{1}{2}(\cosh x \cosh y+ \cosh x \sinh y+ \sinh x \cosh y+ \sinh x \sinh y+\\&+\cosh x \cosh y- coh x \sinh y-\sinh x \cosh y+\sinh x \sinh y)\\&=\frac{1}{2}(2(\cosh x \cosh y+\sinh x \sinh y))\\&=\cosh x \cosh y+\sinh x \sinh y\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>$