Promotion de la Géometrie élémentaire

En accord avec l’ institut-delbol.com, mouctar.org punlie en cette fin Septembre 2018 la solution du problème sur les lots.

La deuxième partie du défi est ainsi résolue.Aucune réponse sur ce problème ne sera acceptée. Pas de gagnant cette fois..

PROBLEME 2: LE TRAPEZE

Un domaine a été mis en vente par l’autorité compétente.

Au total 5160 parcelles des superficies égales peuvent être assignées.

Les calculs montrent que 2000 parcelles peuvent être assignées au niveau de la zone couverte par le triangle $ADC$ .

Le reste des parcelles couvrent la zone du triangle $ABC$ (Voir figure).

$DC=1050\;m$ et $AC=1810\:m$ .

1.Trouvez la superficie totale de la zone $ABCD$ . (30 points)

2.Vérifier par la formule de Héron l’aire de la zone $ADC$ . (10 points)

3. Quelle sera la superficie de chaque parcelles? (10 points)

$N.B.\;Tous\; les \;calculs \;seront \;effectués\; avec \;une\; précision \;de \;5\; décimales$

Cliquer ici pour le fichier pdf

SOLUTION: METHODE PAR TRIGONOMETRIE

Soit $AB=x$

$BC=d_{1}$

Du triangle rectangle $\triangle ABC$ nous avons l’hypothenuse $AC=1810$ .

Nous avons:

$d_{1}=\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}$

Nous avons un autre triangle rectangle $\triangle DFC$

$FC=\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

Une autre égalité:

$AD=d_{2}=BF=BC-FC$

Nous pouvons ainsi écrire:

$d_{2}=\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}-\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

On peut aussi voir :

$\angle BCA \cong \angle CAD$

$m\angle BCA=\alpha=m\angle CAD$

L’aire $\mathcal{A}\;\triangle ABC$ va contenir les 3160 parcelles:

$\mathcal{A}\;\triangle ABC=3160p$

Aussi

$\mathcal{A}\;\triangle ACD=2000p$

En utilisant les formules de calcul des triangles en function de deux côtés et de l’angle compris:

Pour le $\triangle ABC$ :

$\frac{1}{2}\cdot BC \cdot AC \cdot \sin {\alpha}=3160p \tag{1} \label{1}$

Pour le $\triangle ACD$ :

$\frac{1}{2}\cdot AD \cdot AC \cdot \sin {\alpha}=2000p \tag{2} \label{2}$

Divisons $(1)$ by $(2)$

$\displaystyle{\frac{\frac{1}{2}\cdot BC \cdot AC \cdot \sin {\alpha}}{\frac{1}{2}\cdot AD \cdot AC \cdot \sin {\alpha}}=\frac{3160p}{2000p}}$

En simplifiant nous obtenons:

$\frac{BC}{AD}=\frac{3.16}{2}$

Ou bien:

$\frac{BC}{AD}=1.58$

Mais $d_{1}=BC$ and $d_{2}=AD$

Ce qui donne:

$\displaystyle{\frac{\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}}{\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}-\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}}=1.58}$

Multiplions les deux membres par le denominator du premier membre:

$\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=1.58(\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}-\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}})$

$\displaystyle{\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=1.58(\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}})-1.58(\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}})}$

$(1.58-1)\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=1.58\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

$0.58\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=1.58\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

$\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=\frac{1.58}{0.58}\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

$\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=\frac{0.79}{0.29}\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

Soit $k=\frac{0.79}{0.29}$

Nous obtenons:

$\sqrt{(1810)^{2}-x^{2}}=k\sqrt{(1050)^{2}-x^{2}}$

Elevons les deux membres au carré:

$(1810)^{2}-x^{2}=k^{2}((1050)^{2}-x^{2})$

$(1810)^{2}-x^{2}=k^{2}(1050)^{2}-k^{2}x^{2}$

$(k^{2}-1)x^{2}=k^{2}\cdot (1050)^{2}-(1810)^{2}$

$x^{2}=\frac{k^{2}\cdot (1050)^{2}-(1810)^{2}}{k^{2}-1}$

$x=\sqrt{\frac{k^{2}\cdot (1050)^{2}-(1810)^{2}}{k^{2}-1}}$

On remplace les données par leur valeur:

$\displaystyle{x=\sqrt{\frac{(\frac{0.79}{0.29})^{2}\cdot (1050)^{2}-(1810)^{2}}{(\frac{0.79}{0.29})^{2}-1}}}$

$x=874.0605963$

On arrondit:

$x=874\; m$

Trouvons les angles $\alpha$ et $\beta$

$\sin \alpha=\frac{x}{1810}$

Ce qui donne:

$\displaystyle{\sin \alpha=\frac{874.0605963}{1810} \Leftarrow \alpha=28^{\circ}.8753967}$

D’un autre côté, dans le triangle $\triangle ADC$ :

$\displaystyle{\frac{\sin {(180^{\circ}-(\alpha+\beta))}}{1810}=\frac{\sin {\alpha}}{1050} \Rightarrow \frac{\sin {(\alpha+\beta)}}{1810}=\frac{\sin {\alpha}}{1050}}$

Ce qui donne:

$\displaystyle{\sin {(\alpha+\beta)}=\frac{1810}{1050}\sin {\alpha}}$

Ou bien

$\displaystyle{\sin {(\alpha+\beta)}=\frac{1810}{1050}\sin {28^{\circ}.8753967} \Leftarrow (\alpha+\beta)=56^{\circ}.35006873}$

Nous aurons alors:

$\beta=56^{\circ}.35006873-28^{\circ}.8753967$

$\beta=27^{\circ}.47467203$

L’aire des triangles:

L’aire $\mathcal{A}\;\triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot x \cdot AC \cdot \cos {\alpha}$

L’aire $\mathcal{A}\;\triangle ABC=\frac{1}{2}\times 874.0605963\times 1810 \times \cos {28^{\circ}.8753967}$

L’aire $\mathcal{A}\;\triangle ABC=692678.2811$

En arrondissant:

L’aire $\mathcal{A}\;\triangle ABC=692678 \;m^{2}$

For $\triangle ADC$

L’Aire $\mathcal{A}\triangle ADC=\frac{1}{2}\cdot 1050 \cdot 1810 \cdot \sin {\beta}$

Ou bien:

L’Aire $\mathcal{A}\triangle ADC=\frac{1}{2}\cdot 1050 \cdot 1810 \cdot \sin {27^{\circ}.47467203}$

L’Aire $\mathcal{A}\triangle ADC=438403.9754$

En arrondissant:

L’Aire $\mathcal{A}\triangle ADC=438404 \; m^{2}$

$AIRE\;SURFACE \; TOTALE:$

Nous fait la somme des deux surfaces

$\mathcal{A}\; \square ABCD=692678+438404$

$\mathcal{A}\; \square ABCD=1131082\;m^{2}$

$\mathcal{A}\;SURFACE \;D'UNE \;PARCELLE:\; 5160\; parcelles au total$

$AREA \;PLOT=\frac{1131082}{5160}$

$\mathcal{A} \;SURFACE \;D'UNE \;PARCELLE:=219\;m^{2}$

Formule de Heron pour le $\triangle ADC$

Calculons $d_{2}$

$\displaystyle{\frac{\sin {\alpha}}{1050}=\frac{\sin {\beta}}{d_{2}} \Rightarrow d_{2}=1050 \cdot \frac{\sin {\beta}}{\sin {\alpha}}}$

$\displaystyle{d_{2}=1050 \cdot \frac{\sin {27^{\circ}.47467203}}{\sin {28^{\circ}.8753967}}}$

$d_{2}=1003.143208$

Les côtés: $1050$ , $1810$ , $1003.143208$

Calculons $s$ :

$s=\frac{1050+1810+1003.143208}{2}$

$s=1931.571604$

$s-1050=1931.571604-1050=881.571604$

$s-1810=1931.571604-1810=121.571604$

$s-1003.143208=1931.571604-1003.143208=928.428396$

L’aire $\displaystyle{\mathcal{A}\;\triangle ADC=\sqrt{1931.571604 \times 881.571604 \times 121.571604 \times 928.428396 }}$

L’aire $\mathcal{A}\;\triangle ADC=438403.9751$

En arrondissant:

L’aire $\mathcal{A}\triangle ADC=438404\; m^{2}$

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Challenge 1 Spring of 2017: Solution Trapèze

Promotion de la Géometrie élémentaire

PROBLEME 2: LE TRAPEZE

SOLUTION: METHODE PAR TRIGONOMETRIE

Formule de Heron pour le $\triangle ADC$

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