Le Cercle

Un cercle est l’ensemble de tous les points du plan qui sont equidistants d’un point donné appelé . Nous avions déjà introduit le cercle trigonométrie.

-Le est un segmentqui joint le centre du cercle à n’importe quel point du cercle. Le segment OF est le rayon du cercle dans la figure suivante.

-Tous les rayons du cercle sont congrus.

 

-Tout segment de cercle qui joint 2 points d’un cercle s’appelle une du cercle. est une corde.

-Une sécante est une droite contenant une corde. La droite est une sécante qui contient la corde .

-Un du cercle est une corde qui passe par le centre du cercle. est une corde qui passe par . C’est un diamètre.

Des cercles congrus ont des rayons congrus.

-Des cercles sont dits concentriques lorsqu’ils sont coplanaires avec un centre commun.

-Un angle ayant sont sommet au centre du cercle s’appelle angle central.

 

Une est une droite dans le plan de ce cerclequi touche le cercle en exactement un point qui s’appelle .

Dans la figure qui suit , and sont un segment tagent ,une droite tagente et une demie-droite tangente.

 

Cercles inscrits et cercles circonscrits:

Quand chauqe côté d’un polygone est tangent à un cercle, on dit que le cercle est dans le polygone.

De la même façon, le  polygone est dit au cercle.

D’un autre côté, un polygone est dit inscrit dans un cercle et le cercle est circonscrit au polygone, lorsque chaque sommet du polygone touche le cercle de l’intérieur.

 

Angle Inscrit:

un angle inscrit est un angle qui a son sommet sur un cercle et dont les côtés contiennent des cordes de ce cercle.

 

 Arc Majeur et arc mineur

L’arc majeur et son arc mineur forment la circonférence du cercle. Quand ils sont égaux, ils sont des demi-cercles.

 

Tangentes: Théorèmes et postulats

Théorème:

Quand une droite est tangente à un cercle, alors cette droite est perpendiculaire au rayon du cercle qui finit en ce point.

Remarque:

Nous pouvons prouver ceci en se rappelant que la distante la plus courte entre un point et une droite se trouve sur la perpendiculaire de cette droite.

 

Corollaire:

Deux tangentes au cercle venant d’un même point sont congrues.

Théorème:

Quand une droite sur le plan d’un cercle est perpendiculaire au rayon en un point sur ce cercle, alors la ligne est tangente au cercle.

Arcs et angles: Théorèmes et postulats

Postulat: Addition d’arcs

La mesure d’un arc formé par deux arcs qui sont adjacents est la somme de la mesure de ces deux arcs.

 

Théorème:

Dans un même cercle ou dans des cercles congrus, deux arcs mineurs sont congrus si et seulement si leurs angles centraux sont congrus.

 

Arcs et Cordes: Théorèmes et postulat:

Théorème:

Dans un même cercle ou dans deux cercles congrus, deux arcs congrus ont leurs cordes qui sont congrues et deux cordes congrues ont leurs arcs qui sont congrus.

 

Théorème:

Lorsqu’un diamètre ou un rayon est perpendiculaire à une corde , alors il bissecte cette corde et son arc.

 

Théorème:

Dans un même cercle ou dans deux cercles congrus, lorsque deux cordes sont à égale distance du centre, alors ces cordes sont congrues et vice-versa.

 

Angles inscrits: Théorèmes et postulats

Théorème:

La mesure d’un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l’arc intercepté.

Corollaires:

1.Lorsque deux angles inscrits interceptent le même arc, alors les angles sont congrus.

2. Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

3. lorsqu’un quadrilatère est inscrit dans un cercle, alors ses angles opposés sont supplémentaires.

Théorème:

La mesure d’un angle formé par une corde et une tangente est égale à la moitié de la mesure de l’arc intercepté.

Théorème:

La mesure d’un angle formé par deux cordes qui s’entrecoupent dans un cercle est égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés.

 

Théorème:

La mesure d’un angle formé par deux sécantes, deux tangentes, or une sécante et une tangente venant d’un point extérieur au cercle est égale à la moitié de la différence des mesures des arcs interceptés.

Cercles et longueurs de segments

Théorème:

Lorsque deux cordes s’entrecoupent dans un cercle le produit des segments de l’une des cordes est égal au produit des segments de l’autre corde.

 

Théorème:

Lorsque deux segments de sécantes sont tracés d’un  d’un point extérieur au cercle, le produit d’un segment de sécante et de son segment extérieur au cercle est égal au produit de l’autre sécante et de son segment extérieur.

 

Théorème:

Lorsqu’un segment de sécante et un segment d’une tangente sont tracés d’un  d’un point extérieur au cercle, le produit d’un segment de sécante et de son segment extérieur au cercle est égal au carré de la longueur du segment de la tangente.

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