Exponentielle et logarithme, pages multiples

Ceci fait partie de nos rappels car ce type de fonctions est largement utilisé partout.

Nous allons simplement nous limiter aux propriétés et montrer aux élèves comment résoudre ce genre de problèmes quand ils se présentent.

Fonctions Exponentielles:

Ce sont des fonctions ayant $x$ comme variable qui est l’exposant et dont la base est simplement une constante.

Pour une $base=3$ , si nous ecrivons: $f(x)=3^{x}$ , nous sommes en face d’une fonction exponentielle.

Pour la fonction qui suit nous avons comme base $a$ :

$f(x)=a^{x}$

La variable $x$ peut être n’importe quel nombre réel pendant que $a$ est limité aux valeurs qui permettent d’avoir une fonction valide:

$a>0$ and $a\neq 1$ .

Le graphe d’une telle fonctionmontre qu’elle est définie pour toute valeur de $x$ dans $\mathbf{R}$

Si nous possedons les données suivantes,
$A_0$ =Montant de l’investissement (valeur originale ou initiale
$r$ =taux de l’intérêt annuel
$n$ = nombre d’instances par an
$t$ = Le nombre d’années de l’investissement

Si $A(t)$ représente le montant obtenu après $t$ années nous pourrons voir que:

An 1:
Initial $A_0$
Pour chaque instance
Total instance 1: $A_0+A_0\cdot \frac{r}{n}=A_0(1+\frac{r}{n})$
Total instance 2:
$A_0(1+\frac{r}{n})+(A_0(1+\frac{r}{n}))\cdot (1+\frac{r}{n})=A_0(1+\frac{r}{n})^{2}$

Après $n$ instances: 1 an

$A(1)=A_0(1+\frac{r}{n})^{n\cdot 1}$

Pour t années:
$A(t)=A_0(1+\frac{r}{n})^{n\cdot t}$

Exemple:

Mouctar a investi 1500 dollars dans un compte ayant 5% comme intérêt annuel.

Trouver le montant $A(6)$ , après 6 ans avec un intérêt composé recalculé au trimestre.

Solution:

$A(0)=1500$

$r=5\%=0.05$

Par an, $n=4$ , Instances

Six ans: $t=6$

$A(6)=1500(1+\frac{0.05}{4})^{4\times 6}$

Finalement nous obtenons:

$A(6)=2021$ dollars.

Dépréciation

Lorsque la base d’une fonction exponentielle est $0<a<1$ , il y a dépréciation.

Les formes sont les suivantes

$A(t)=A_0(a)^t$

Example:

Une voiture achetée au prix de 12000 dollars se déprécie de telle sorte que la valeur en une année vaut seulement les 85% de celle de l’année précédente.

Quelle sera la valeur de la voiture après 5 ans?

Solution

Nous avons: $A_0=12000$

$a=0.85$

$t=5$

$A(5)=12000(0.85)^5$

$A(5)=5324.46 \; dollars$

Fonction exponentielle naturelle

Le nombre $e=2.71828....$ est naturel. Observons ce qui suit:

Dans la formule de l’intérêt composé, en investissant $1$ dollar au taux de 100%par an en capitalisant continuellement, rendant le nombre d’instances $n$ infiniment grand, nous obtenons: