Exponentielle et logarithme, pages multiples

Problème 1:
La magnitude $R$ d’un séisme d’intensité $I$ , sur l’échelle de Richter est de:
$R=\log \frac{I}{I_0}$
Avec $I_0$ une certaine intensité minimale.
Pour une intensité d’un séisme de $100000I_0$ , quelle sera la magnitude $R$ ?

Solution:

$R=\log \frac{I}{I_0}$
$R=\log \frac{100000I_0}{I_0}$
$R=\log 10^{5}$
$R=5log 10$
But $log 10 =1$

Finalement:
La magnitude $R=5$

Réponse: $Magnitude=5$

Problème 2:

Une population augmente de façon continue au taux de 7% par an.

Combien de temps approximativement faut-il pour que la population double en valeur?

Solution:

On utilise:
$P=P_0e^{kt}$ avec $k=0.07$
Pour que la population double il faudra:
$2P_0=P_0e^{0.07t}$
$2=e^{0.07t}$
$\ln 2=0.07t$ parce que $\ln e=1$
$t=\frac{\ln 2}{0.07}$
$t=9.9$ ans.

Réponse:
La population double en $9.9 \; ans$

Problème 3:

L’intérêt composé continu est placé au taux de 4% par an. Dans combien de temps un montant initial de 7000 dollars va devenir 22000 dollars approximativement?

Solution:
On utilise:
$A(t)=A_0e^{rt}$ avec $A(t)=22000$ , $A_0=7000$ et $r=0.04$

$22000=7000e^{0.04t}$
$\frac{22000}{7000}=e^{0.04t}$
$\frac{22}{7}=e^{0.04t}$
$\ln 22- \ln 7=0.04t$
$t \approx 29$
Réponse: Temps nécessaire: 29 ans

Problème 4:
Une certaine substance se décompose selon la formule: $A(t)=A_0b^{-t}$ avec $t$ en jours
Quelle est la valeur $b$ si la demi-vie est de 12 jours?

Solution:

Avec la formule:
$A(t)=A_0b^{-t}$
La demi-vie est de $\frac{1}{2}A_0$
Nous avons:
$\frac{1}{2}A_0=A_0b^{-12}$
$\frac{1}{2}=b^{-12}$
Beaucoup d’options disponibles:
Nous remarquons les exposants:
$\frac{1}{2}=\frac{1}{b^{12}}$

Ou simplement:
$2=b^{12}$
$b=\sqrt[12]{2}$
$b=1.05946$

Réponse: $b=1.05946$

Problème 5:

Le nombre de bacteries dans une culture est donné par $N(t)=3(4^t)$ avec $t$ en heures.

Si $N(t)$ est en dizaines de millier, quel sera le nombre de bacteries après 150 minutes?

Solution:

$t=2.5$ car 150 minutes valent 2.5 heures.

$N(2.5)=3(4^{2.5})$
$N(2.5)=96$
Finally:
Nombre de bacteries: $96\times 10000=960000$

Réponse: Nombre total de bacteries après 150 minutes: 960000

Problème 6:

Ben Franklin laissa 4000 dollars pour la ville de Philadelphie avec des instructions de l’utilisation après 200 ans.

Sur une base d’intérêt composé continu, le montant final fut de 2 millions de dollars.
Calculer le taux d’intérêt.

Solution:
$A(t)=A_0e^{kt}$
$2000000=4000e^{200k}$
$500=e^{200k}$
$\ln 500=200k$
$k=\frac{\ln 500}{200}$
$k=0.031$

Réponse: Le taux est de: $3.1\%$

Problème 7:

La formule $T=-8310\ln x$ est quelquefois utilisé dans la datation du carbone 14 pour trouver l’âge de certains fossiles.

$T$ est l’âge en années et $x$ le pourcentage de carbone 14 restant, exprimé en nombre décimal.

Quel est l’âge d’un fossile ayant 6% de carbone 14?

Si un fossile a 15000 ans, quel sera le pourcentage de carbone 14 restant?

Solution:
Si $x=0.06$ :
$T=-8310 \ln 0.06$
$T=23379$ ans.

Si $T=15000$ :
$-8310 \ln x=15000$
$\ln x=\frac{15000}{-8310}$
$\ln x=-1.80505415$
$x=e^{-1.80505415}$
$x=0.16447$

Réponse: Le carbone 14 restant: 16.447%

Problème 8:

En 1971 le salaire minimum aux USA était de $1.60$ dollars par heure.

Si le taux d’inflation est de 5% par an, trouver l’équivalent du salaire minimum en 2015.

Solution:
$A(t)=A_0e^{kt}$ , $k=0.05$ et $t=44$
$A(t)=1.60e^{0.05\times 44}$
$A(t)=14.45$

Réponse: Le salaire minimum en 2015: $14.45\; dollars$

Problème 9:

La population $N(t)$ , en millions, des USA, $t$ années après 1980 peut se trouver par la formule

$N(t)=227e^{0.007t}$ . Quand est-ce que la poulation sera le double de sa valeur de 1980?

Solution:
$N(t)=227e^{0.007t}$
In 1980:
$N(0)=227e^{0.007\times 0}$
$N(0)=227$ en millions
Pour doubler:
$2N(0)=N(0)e^{0.007t}$
$2=e^{0.007t}$
$\ln 2=0.007t$ , avec $\ln e=1$
$t=\frac{-\ln 2}{0.007}$
$t=99$
Elle sera le double en: $1980+99=2079$

Réponse: Elle sera double en 2079

Problème 10:
La population $N(t)$ , en millions, de l’Inde $t$ années après 1985 peut se calculer par:
$N(t)=762e^{0.022t}$
En quelle année la population sera de 1.5 milliard?

Solution:

$N(t)=762e^{0.022t}$
Initially, in 1985:
$N(0)=762$ en millions.
$N(t)=1500$ millions
$1500=762e^{0.022t}$
$\frac{1500}{762}=e^{0.022t}$
$\ln \frac{1500}{762}=0.022t$
$t=\frac{\ln 1500- \ln 762}{0.022}$
$t \approx 31$ ans
Elle sera environ de 1.5 milliards en: $1985+31=2016$

Réponse: Elle sera de 1.5 milliard en 2016.

Problème 11:

La loi de Pareto pour les pays capitalistes affirme que la relation entre le revenu annuel $x$ et le nombre d’individus $y$ dont le revenu dépasse $x$ est de:
$\log y=\log b- k\log x$
Avec b et k des constantes positives. Résoudre cette équation en $y$ .