Formules d’ Al-Kashi, Heron,Bretschneider, Brahmagupta et Coolidge

Laformule de Bretscheiner nous aide à trouver l’aire d’un quadrlatère qui n’est pas cyclique, ne pouvant autrement être inscrit dans un cercle, en utilisant seulement la longueur de ses quatres côtés et la mesure d’un angle ou de l’une des diagonales.

Nous allons trouver  à partir de cette formule, une autre formule appelée la formule de Brahmagupta. Celle-là s’utilise pour les quadrilatères inscrits dans un cercle avec les angles opposés qui sont supplémentaires.

Dans ce dernier cas de figure, le produit des deux diagonales e et f est de ef=ac+bd.

 


Soit K l’aire de notre quadrilatère ABCD.

On remarque de la figure que K=A_{ABD}+A_{DCB}

K=\frac{1}{2}ad \sin \alpha+ \frac{1}{2}bc \sin \phi

2K=ad \sin \alpha+ bc \sin \phi

Elevant les deux membres au carré:

4K^{2}=(ad)^{2} \sin^{2} \alpha+ (bc)^{2} \sin^2 \phi+ 2adbc \sin \alpha \sin \phi

4K^{2}=(ad)^{2} \sin^{2} \alpha+ (bc)^{2} \sin^2 \phi+ 2adbc \sin \alpha \sin \phi  (1)

Prenons les deux valeurs possibles de la diagonale e:

e^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad \cos \alpha

e^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \phi

a^{2}+d^{2}-2ad \cos \alpha=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \phi

a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=2ad \cos \alpha-2bc \cos \phi

\frac{a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}=ad \cos \alpha-bc \cos \phi

Elevant les deux membres au carré:

\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad)^{2} \cos^{2} \alpha+(bc)^{2} \cos^{2} \phi-2abcd \cdot \cos \phi \cdot \cos \alpha  (2)

On additionne (1) et (2):

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad)^{2}(\sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha)+(bc)^{2}(\sin^{2} \phi+\cos^{2} \phi)+ 2adbc \cdot \sin \alpha \sin \phi -2abcd \cdot \cos \alpha \cos \phi

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad)^{2}+ (bc)^{2}- 2adbc \cdot \cos (\alpha + \phi)

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}-2adbc- 2adbc \cdot \cos (\alpha + \phi)

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}- 2adbc \cdot( \cos (\alpha + \phi)+1)

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}- 4adbc(\frac{\cos (\alpha + \phi)+1}{2}) Le dernier terme multiplié et divisé par 2.

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}- 4adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

Au commun denominateur puis on multiplie par 4.

16K^{2}=4(ad +bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=[4(ad +bc)^{2}]-[(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}]- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=[4(ad +bc)^{2}]-[(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}]- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=(2ad +2bc+a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})(2ad +2bc-a^{2}-d^{2}+b^{2}+c^{2})- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=(a^{2}+2ad+d^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2}))(-a^{2}+2ad-d^{2}+(b^{2}+2bc+c^{2}))- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=((a+d)^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-(a-d)^{2})- 16adbc \cdot\cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

K^{2}=\frac{b+c+d-a}{2}\cdot \frac{a+c+d-b}{2}\cdot \frac{a+b+d-c}{2}\cdot \frac{a+b+c-d}{2}- adbc\cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

\boxed {K=\sqrt{\frac{b+c+d-a}{2}\cdot \frac{a+c+d-b}{2}\cdot \frac{a+b+d-c}{2}\cdot \frac{a+b+c-d}{2}- adbc\cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})}}

Si le demi-perimètre est de s=\frac{a+b+c+d}{2}

 

Nous avons la formule de Bretscheiner:

\boxed {K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-adbc\cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})}}

 

Formule de Brahmagupta

Nous utilisant un chemin similaire mais avec un quadrlatère qui est CYCLIQUE et nous savons que deux angles opposés sont supplémentaires.

\cos \frac{\pi}{2}=0

De la formule de Bretscheiner:

\boxed {K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

 

Formule de Heron

On enlève le dernier côté de la formule de Brahmagupta:

\boxed {K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

 

Détails approfondis:

Des lois d’Al-Kashi à Bretshneider en passant par Héron et Brahmagupta, nous allons explorer les details des formules:

Al-kashi is simply the Law of Cosines:

Loi d’Al-Kashi ou loi des cosinus:

On peut voir que:

\cos{A}=\frac{AD}{c} \Rightarrow AD=c\cdot \cos{A}

Nous avons deux triangles rectangles: \triangle{ADB} and \triangle{CDB}

Utilisant le théorème de Pythagore:
{h}^2={c}^2-{AD}^2

Aussi:
{h}^2={a}^2-{DC}^2
{a}^2-{DC}^2={c}^2-{AD}^2

Mais :
\overline{AC}=\overline{AD}+\overline{DC} \Rightarrow \overline{DC}=\overline{AC}-\overline{AD}

Alors:

DC=AC-AD=b-AD
{a}^2-{b-AD}^2={c}^2-{AD}^2
{a}^2-({b}^2-2 \cdot b \cdot AD+{AD}^2) ={c}^2-{AD}^2
{a}^2-{b}^2+2 \cdot b \cdot AD-{AD}^2={c}^2-{AD}^2
{a}^2-{b}^2+2 \cdot b \cdot (AD)={c}^2

Nous savons que: AD=c\cdot\cos{A}
{a}^2-{b}^2+2 \cdot b \cdot c\cdot\cos{A}={c}^2

Enfin la Loi \;des\; cosinus:

{a}^2={b}^2+{c}^2-2 \cdot b \cdot c\cdot\cos{A}

{b}^2={a}^2+{c}^2-2 \cdot a \cdot c\cdot\cos{B}

{c}^2={a}^2+{b}^2-2 \cdot a \cdot b\cdot\cos{C}

Formula de Héron:

Calcul de l’aire du triangle avec les côtés comme données.

Soit S l’aire et s=\frac{a+b+c}{2} le demi-perimètre.

S=\frac{1}{2}bc \sin A.

Nous aurons besoin de cette formule dans les démarches qui suivent:

\sin A=\frac{2S}{bc}

a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Mais nous savons que:

\sin^{2} A+ \cos^{2} A=1

(\frac{2S}{bc})^{2}+(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^{2}=1

\frac{4S^{2}}{b^{2}c^{2}}+\frac{(b^2+c^2-a^2)^{2}}{4b^{2}c^{2}}=1

\frac{4\times 4S^{2}}{4 \times b^{2}c^{2}}+\frac{(b^2+c^2-a^2)^{2}}{4b^{2}c^{2}}=\frac{4b^{2}c^{2}}{4b^{2}c^{2}}

16S^{2}=4b^{2}c^{2}-(b^2+c^2-a^2)^{2}

Simple difference de carrés, on factorise:

16S^{2}=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)

16S^{2}=[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^{2}]

16S^{2}=(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a+c-b)

16S^{2}=(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a+c-b)

16S^{2}=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

S^{2}=\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(b+c-a)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

This is the Heron formula:

\boxed{S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

 

Formule de Bretschneider:

 Nous allons demontrer le cacul de ces formes de l’aire K selon BRETSCHNEIDER

K=\frac{1}{2}pq \sin \theta

K=\frac{1}{4}(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}) \tan \theta

K=\frac{1}{4}\sqrt{4p^{2}q^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}}

On divise la diagonale p en (p-y) et y

La même chose pour q: (q-x) and x

On exprime l’aire des quatre triangles:

A_1=\frac{1}{2}xy \sin \theta

A_2=\frac{1}{2}x(p-y) \sin \theta

A_3=\frac{1}{2}(p-y)(q-x) \sin \theta

A_4=\frac{1}{2}(q-x)y \sin \theta

Additionnant les aires des quatre triangles:

A_{ABCD}=A_1+A_2+A_3+A_4

A_{ABCD}=(\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}px-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}pq-\frac{1}{2}px-\frac{1}{2}qy+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}qy-\frac{1}{2}xy) \sin \theta

Par simplication:

A_{ABCD}=\frac{1}{2}pq \sin \theta

Première forme:

\boxed{K=\frac{1}{2}pq \sin \theta}

Maintenant la seconde forme:

De la figure:

c^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy \cos \theta  (1)

a^{2}=(p-y)^{2}+(q-x)^{2}-2(p-y)(q-x)\cos \theta

a^{2}=p^{2}-2py+y^{2}+q^{2}-2qx+x^{2}-(pq-px-qy+xy)\cdot 2\cos \theta

On developpe et on remplace les termes de (1) par c^{2}

a^{2}=p^{2}+c^{2}+q^{2}-2py-2qx-2pq\cos \theta+2px \cos \theta+ 2qy \cos \theta

Continuons pour b^{2}

b^{2}=(p-y)^{2}+x^{2}+2(p-y)x \cos \theta

b^{2}=p^{2}-2py+y^{2}+x^{2}+2px \cos \theta-2xy \cos \theta

On developpe et on remplace les termes de (1) par c^{2}

b^{2}=p^{2}-2py+c^{2}+2px \cos \theta

Continuons pour d^{2}

d^{2}=(q-x)^{2}+y^{2}+2(q-x)y \cos \theta

d^{2}=q^{2}-2qx+x^{2}+y^{2}+2qy\cos \theta-2xy \cos \theta

d^{2}=q^{2}-2qx+c^{2}+2qy \cos \theta

Faisons l’addition

b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}=

=p^{2}-2py+c^{2}+2px \cos \theta+q^{2}-2qx+c^{2}+2qy \cos \theta-p^{2}-c^{2}-q^{2}+2py+2qx+2pq\cos \theta

-2px \cos \theta- 2qy \cos \theta-c^{2}

Par simplification:

b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}=2pq \cos \theta \Rightarrow pq=\frac{b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{2\cos \theta}

Mais:

K=\frac{1}{2}pq \sin \theta

On remplace pq

K=\frac{1}{4}(b^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}) \tan \theta

 

Seconde Forme:

\boxed{K=\frac{1}{4}(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}) \tan \theta}

 

Troisième forme:

Pour les sequences précedentes:

K=\frac{1}{2}pq \sin \theta

Mais: \sin \theta=\sqrt{1- \cos^{2} \theta}

K=\frac{1}{2}pq\sqrt{1-(\frac{b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{2pq})^{2}}

K=\frac{1}{2}pq\sqrt{1-\frac{(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}{4p^{2}q^{2}}}

K=\frac{1}{2}\sqrt{p^{2}q^{2}-p^{2}q^{2}\frac{(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}{4p^{2}q^{2}}}

 K=\frac{1}{4}\sqrt{4p^{2}q^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}

C’est la vraie formule de BRETSCHNEIDER:

\boxed{K=\frac{1}{4}\sqrt{4p^{2}q^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}

Selon wikipedia, le travail qui suit est de COOLIDGE en 1939:

Soit K l’aire de notre quadrlatère.

La figure nous montre que K=A_{ABD}+A_{DCB}

K=\frac{1}{2}ad \sin \alpha+ \frac{1}{2}bc \sin \phi

2K=ad \sin \alpha+ bc \sin \phi

Elevons les deux membres au carré:

4K^{2}=(ad)^{2} \sin^{2} \alpha+ (bc)^{2} \sin^2 \phi+ 2adbc \sin \alpha \sin \phi

4K^{2}=(ad)^{2} \sin^{2} \alpha+ (bc)^{2} \sin^2 \phi+ 2adbc \sin \alpha \sin \phi  (1)

Prenons 2 valeurs de la diagonale e:

e^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad \cos \alpha

e^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \phi

a^{2}+d^{2}-2ad \cos \alpha=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \phi

a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=2ad \cos \alpha-2bc \cos \phi

\frac{a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}=ad \cos \alpha-bc \cos \phi

En prenant le carré:

\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad)^{2} \cos^{2} \alpha+(bc)^{2} \cos^{2} \phi-2abcd \cdot \cos \phi \cdot \cos \alpha  (2)

Adding (1) and (2):

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=

=(ad)^{2}(\sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha)+(bc)^{2}(\sin^{2} \phi+\cos^{2} \phi)+ 2adbc \cdot \sin \alpha \sin \phi -2abcd \cdot \cos \alpha \cos \phi

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad)^{2}+ (bc)^{2}- 2adbc \cdot \cos (\alpha + \phi)

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}-2adbc- 2adbc \cdot \cos (\alpha + \phi)

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}- 2adbc \cdot( \cos (\alpha + \phi)+1)

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}- 4adbc(\frac{\cos (\alpha + \phi)+1}{2}) Introduction du nombre 2 dans la dernière partie de l’expression.

4K^{2}+\frac{(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}=(ad +bc)^{2}- 4adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

Reduction au dénominateur commun et multiplication par 4:

16K^{2}=4(ad +bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=[4(ad +bc)^{2}]-[(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}]- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=[4(ad +bc)^{2}]-[(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}]- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=(2ad +2bc+a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})(2ad +2bc-a^{2}-d^{2}+b^{2}+c^{2})- 16adbc \cdot\cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=(a^{2}+2ad+d^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2}))(-a^{2}+2ad-d^{2}+(b^{2}+2bc+c^{2}))- 16adbc \cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=((a+d)^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-(a-d)^{2})- 16adbc \cdot\cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

16K^{2}=(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)- 16adbc \cdot\cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

K^{2}=\frac{b+c+d-a}{2}\cdot \frac{a+c+d-b}{2}\cdot \frac{a+b+d-c}{2}\cdot \frac{a+b+c-d}{2}- adbc\cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})

\boxed {K=\sqrt{\frac{b+c+d-a}{2}\cdot \frac{a+c+d-b}{2}\cdot \frac{a+b+d-c}{2}\cdot \frac{a+b+c-d}{2}- adbc\cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})}}

Pour un demi-perimètre s=\frac{a+b+c+d}{2}

Nous avons la formule de COOLIDGE:

\boxed {K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-adbc\cdot \cos^{2} (\frac{\alpha + \phi}{2})}}

 

Liens externes:

http://www.planetmath.org

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