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Cercles inscrits, du hall

December 26, 2016 Mouctar Geometrie analytique 0

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Cercles inscrits, du hall

Problème 23:

Un cercle de centre $O(0,0)$ est inscrit dans le carré ABCD, de côté 16 mètres.

Sur la figure qui suit,un cercle plus petit de centre $L$ qui est tangent au cercle $\odot O$ au point $F$ est inscrit comme indiqué.

1. Trouver l’équation $\odot O$ ?

2. Quelle est l’équation du cercle $\odot L$ ?

3.Trouver l’aire de la zone colorée?

(Tous les calculs seront arrondis au millième)

Solution

Le cercle de centre $O(0,0)$

Equation d’un cercle de centre $(x_0, y_0)$ est:

$(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}=R^{2}$

Nous voyons que le rayon du cercle est la moitié du côté du carré.

$R=8$

$(x)^{2}+(y)^{2}=8^{2}$

Maintenant traçons une droite passant par les points $O$ et $D$

Le point $D=(8,8)$

Distance $OD$ :

$OD^{2}=8^2+8^2 \Rightarrow OD=8 \sqrt{2}$

Distance $FD$

$FD=OD-OF=8 \sqrt{2}-8=8(\sqrt{2}-1)$

La ligne qui passe par $O \& D$

$y=x$

Sa perpendiculaire $k$ a un coefficient directeur $m'=-1$ .

Cette ligne passe par $F$ .

Coordonnées de $F$

$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{x_F}{R} \Rightarrow x=R \cos \frac{\pi}{4}=\frac{8 \sqrt{2}}{2}=4 \sqrt{2}$

Pour le point $F$ :

$F=(4 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$

La droite $k$ passe par $F$ avec un coefficient directeur $-1$ . On utilise la forme générale:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-4\sqrt{2}=-1(x-4\sqrt{2})$

$y=-x+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}$

$y=-x+8\sqrt{2}$

C’est l’équation de la droite $k$ .

$x+y=8\sqrt{2}$

La droite $k$ rencontre le carré aux points $G$ et $H$

Pour le point $G$ :

Le point $G$ est l’intersection des droites $y=8$ et $k$ or $y=-x+8\sqrt{2}$

Nous avons en $G$ :

$-x+8\sqrt{2}=8$

$x=8\sqrt{2}-8$

$x=8(\sqrt{2}-1)$

Finalement:

$G=(8(\sqrt{2}-1), 8)$

Ou:

$G=(3.314, 8)$

Pour le point $H$ :

Point $H$ est l’intersection des droites $x=8$ and line $k$ or $y=-x+8\sqrt{2}$

Nous allons remplacer $x$ par sa valeur:

Pour le point $H$ :

$y=-x+8\sqrt{2}=-8+8\sqrt{2}=8(\sqrt{2}-1)$

Alors:

$H=(8,8(\sqrt{2}-1))$

Ou:

$H=(8,3.314)$

On alors le triangle $\triangle GDH$

Le cercle $\odot L$ est inscrit dans le $\triangle GDH$ avec $L$ comme centre.

Les droites issues des sommets bissectent ces sommets.

Nous avons l’angle:

$m\angle FGD=\frac{\pi}{4}$

La ligne issue du sommet $G$ passant par $L$ fait un angle de $-\frac{\pi}{8}$ avec l’horizontale.

Trouvons la tangente de l’angle qui est aussi le coefficient directeur.

$\tan (-\frac{\pi}{8})=-\tan \frac{\pi}{8}$

De nos formules:

$\tan \theta=\frac{1-\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$

$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}$

$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}-1$

$\tan (-\frac{\pi}{8})=-(\sqrt{2}-1)$ . C’est le coefficient directeur.

La droite $m$ passe par $G$

$G=(8(\sqrt{2}-1), 8)$

La forme standard:

$y-y_G=m(x-x_G)$

$y-8=-(\sqrt{2}-1)(x-8(\sqrt{2}-1))$

$y=-(\sqrt{2}-1)x+8(2-2\sqrt{2}+1)+8$

$y=-(\sqrt{2}-1)x+8(2-2\sqrt{2}+1+1)$

$y=-(\sqrt{2}-1)x+16(2-\sqrt{2})$

Les droites $y=x$ et $y=-(\sqrt{2}-1)x+16(2-\sqrt{2})$ se rencontrent en $L$ , centre de $\odot L$

Nous avons:

$x=-(\sqrt{2}-1)x+16(2-\sqrt{2})$

$x(1-\sqrt{2}-1)=16(2-\sqrt{2})$

$x\sqrt{2}=16(2-\sqrt{2})$

$x=\frac{16(2-\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$

$x=\frac{16\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{2}$

$x=8(2\sqrt{2}-2)$

$x=16(\sqrt{2}-1)$

Comme le point $L$ est sur $y=x$ :

$L=(16(\sqrt{2}-1), 16(\sqrt{2}-1))$

Le segment $FL$ est le rayon de $\odot L$

Calculons sa longueur:

$F=(4 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$

$L=(16(\sqrt{2}-1), 16(\sqrt{2}-1))$

$FL=\sqrt{(16\sqrt{2}-16-4\sqrt{2})^{2}+(16\sqrt{2}-16-4\sqrt{2})^{2}}$

$FL=\sqrt{2(16\sqrt{2}-16-4\sqrt{2})^{2}}$

$FL=\sqrt{2}(12\sqrt{2}-16)$

$FL=24-16\sqrt{2}$

Si $r$ est le rayon de $\odot L$ :

$r=24 -16 \sqrt{2}$

Passons aux décimaux pour simplifier:

$r=1.373$

Equation du cercle:

$(x-16(\sqrt{2}-1))^{2}+(x-16(\sqrt{2}-1))^{2}=( 24-16\sqrt{2})^{2}$

Ou en décimaux:

$(x-6.627)^{2}+(y-6.627)^{2}=(1.373)^{2}$

Pour la dernière question, jettons un coup d’oeil au graphe.

La zone en couleur est simplement la difference entre l’aire du triangle $\triangle JID$ et segment circulaire $IJ$

Trouvons cette difference.

Le triangle $\triangle LJI$ est un triangle rectangle.

L’angle au centre balaie un arc de $\frac{\pi}{2}$

$Aire\;du\;segment=\frac{1}{2}r^{2}(\alpha-\sin \alpha)$ with $\alpha=\frac{\pi}{2}$ dans ce cas.

$Aire\;du\;segment=\frac{1}{2}(1.373)^{2}(\frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{2})$

$Aire\;du\;segment=0.942(\frac{\pi}{2}-1)=0.942(0.571)$

$Aire\;du\;segment=0.538$

Aire du $\triangle JID$

Calculons la longueur du segment $LN$

La hauteur du $\triangle JID$ est:

$DN=OD-ON$ with $ON=OF+FL+LN=R+r+LN$

Nous avons : $DN=OD-R-r-LN=8\sqrt{2}-8-24+16\sqrt{2}-LN$

$JI=r \sqrt{2}=(24-16\sqrt{2})\sqrt{2}=24 \sqrt{2}-32=1.941$

$NI=\frac{1}{2}JI=0.971$

Dand le triangle rectangle $\triangle LNI$

$r^2=(NI)^{2}+(LN)^{2}$

$LN=\sqrt{r^{2}-(NI)^{2}{2}}=\sqrt{1.884-(0.971)^{2}}$

$LN=\sqrt{1.884-0.943}=\sqrt{0.941}=0.970$

On peut aussi dire que $LN=ND=0.971$ sans approximation que $N$ is l’intersection des diagonales du quadrilatère $DJLI$

Finalement:

$DN=8\sqrt{2}-8-24+16\sqrt{2}-0.970=11.314-8-24+22.627-0.970=0.971$

$DN=0.971$

Aire du $\triangle JID$ est:

$Aire\; du \; \triangle JID=\frac{1}{2}JI \cdot DN=\frac{1}{2}1.941 \times 0.971=0.942\; m^{2}$

Zone en couleur:

$Aire\; colorée=0.942-0.538=0.404$

Réponse: $Aire\; colorée=0.404\; m^{2}$

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