Intégrales indéfinies ou primitives

Ayant couvert les calculs des dérivées, on peut s’interesser à un autre sujet.

Connaissant la dérivée, on recherche la famille des fonctions qui diffèrent par des constantes et qui donnent cette dérivée après leur dérivation.

C’est le calcul de primitives qui devient intéressant dans notre cas de situation.

Une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine de $f$ .

Le seule problème est que la calcul de la dérivée d’une constante $C$ ,nous donne $0$ .

Voyons:

Si nous avons $F'(x)=3x^{2}$

Nous savons que $(x^{3})'=3x^{2}$

Mais c’est aussi: $(x^{3}+1000)'$ .

Quelle que soit la constante, la dérivée reste la même.

Et le théorème:

Théorème: Forme générale des primitives

Soit $F$ une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ . Alors,

1. Pour toute constante $C$ , la fonction $F(x)+C$ is aussi une primitive de $f$ sur $I$ .

2. Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ ,il existe une constante $C$ pour laquelle $G(x)=F(x)+C$ sur $I$ .

Ce qui donne la forme générale de la primitive de $f$ sur $I$ comme $F(x)+C$ .

EXEMPLE:

Trouver la primitive de $6x$

Nous voyons que c’est $3x^{2}+C$

Intégrales indéfinies

Voici la notation utilisée pour les primitives:

$\int f(x) dx=F(x)+C$

$f(x)$ s’appelle $intégrale$ et la variable $x$ est la $variable \; d' \; integration$

Formules Fundamentales

$1. {\displaystyle \int \frac{d}{dx}[f(x)] \,dx}=f(x)+C$

$2. {\displaystyle \int [f(x)+g(x)] \,dx}=\int f(x) dx+ \int g(x) dx$

$3. {\displaystyle \int af(x)dx}=a \int f(x) \,dx$ with $a$ a constant

$4. {\displaystyle \int \frac{dx}{x}}=\ln |x|+C$

$5. {\displaystyle \int x^{n} \,dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$6. {\displaystyle \int e^{x} \,dx}=e^{x}+C$

$7. {\displaystyle \int a^{x} \,dx}=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$ with $a>0$ , $a \neq 1$

$8. {\displaystyle \int \sin x \,dx}=-\cos x +C$

$9. {\displaystyle \int \cos x \,dx}=\sin x +C$

$10. {\displaystyle \int \tan x\, dx}=\ln |\sec x|+C$

$11. {\displaystyle \int \cot x\, dx}=\ln |\sin x|+C$

$12. {\displaystyle \int \sec x\, dx}=\ln |\sec x +\tan x|+C$

$13. {\displaystyle \int \csc x\, dx}=\ln |\csc x -\cot x|+C$

$14. {\displaystyle \int \sec^{2} x\, dx}=\tan x + C$

$15. {\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}}= \tan^{-1} x +C$

$16. {\displaystyle \int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}} = \frac{1}{a}\tan^{-1} \frac{x}{a} +C$

$17. {\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}}= \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$

$18. {\displaystyle \int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}}= \frac{1}{2a} \ln |\frac{a+x}{a-x}|+C$

$19. {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}= \sin ^{-1} \frac{x}{a}+C$

$20. {\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}=\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2}} |}+C$

Problème 1:

Trouver: $\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\, dx$

Nous savons que $\frac{d}{dx} (x^{2}-2x-5)=2x-2$

De $x+3$ nous voyons que

$x+3=\frac{1}{2}(2x+6)=\frac{1}{2}(2x+8-2)=\frac{1}{2}(2x-2)+4$

Nous obtenons

(1) $\begin{equation*} \begin{split} \int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\, dx&= \int \frac{\frac{1}{2}(2x-2)+4}{x^{2}-2x-5}\, dx\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5}\,dx+4\int \frac{dx}{x^{2}-2x-5}\\ &= \frac{1}{2}\int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5}\,dx+4\int \frac{dx}{(x-1)^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\ &= \frac{1}{2} \ln |x^{2}-2x-5|+4\cdot \frac{1}{2 \sqrt{6}} \ln \left |\frac{(x-1)-\sqrt{6}}{(x-1)+\sqrt{6}} \right | +C \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

${\displaystyle \int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\, dx}=\frac{1}{2} \ln |x^{2}-2x-5|+2\cdot \frac{1}{ \sqrt{6}} \ln \left |\frac{(x-1)-\sqrt{6}}{(x-1)+\sqrt{6}} \right | +C$

Problème 2:

Trouver: $\int \frac{3x+2}{\sqrt{x^{2}+5x+12}}\, dx$

Nous savons que $\frac{d}{dx} (x^{2}+5x+12)=2x+5$

De $3x+2$ nous voyons que

$3x+2=\frac{3}{2}(2x+\frac{4}{3})=\frac{3}{2}(2x+5-\frac{11}{3})=\frac{3}{2}(2x+5)-\frac{11}{2}$

Nous obtenons

(2) $\begin{equation*} \begin{split} \int \frac{3x+2}{\sqrt{x^{2}+5x+12}}\, dx&= \int \frac{\frac{3}{2}(2x+5)-\frac{11}{2}}{\sqrt{x^{2}+5x+12}}\, dx\\ &=\frac{3}{2}\int \frac{(2x+5)}{\sqrt{x^{2}+5x+12}}\, dx-\frac{11}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5x+12}}\\ &=\frac{3}{2}\int \frac{(2x+5)}{\sqrt{x^{2}+5x+12}}\, dx-\frac{11}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{5}{2})^{2}+\frac{23}{4}}}\\ &=\frac{3}{2} \ln |x^{2}+5x+12|-\frac{11}{2} \ln | x+ \frac{5}{2}+\sqrt{x^{2}+5x+12}| +C \end{split} \end{equation*}$