Techniques d’Integration , pages multiples

 


2.Intégration par paties

Cette technique transforme une intégrale en une autre plus facile à calculer.

La méthode vient  de la formule suivante:

(uv)'=u'v+uv'

Ceci peut s’écrire:

uv'=(uv)'-u'v

Prenant la primitive des deux membres on a::

\int udv=\int d(uv)-\int vdu

Ou simplement:

{\displaystyle \int u\, dv =uv-\int v\, du}

Le choix doit être judicieux de façon à ne pas générer une autre forme plus compliquée.

Un exemple favori est le suivant:

Evaluer {\displaystyle \int \ln x\, dx}

Soit u=\ln x \Rightarrow  du=\frac{dx}{x}

dv=dx \Rightarrow v=x

 {\displaystyle \int \ln x\, dx=x \ln x-\int x\cdot \frac{dx}{x}=x \ln x-x+C}

 

 

Problème 13
Evaluer: {\displaystyle \int xe^{x}\, dx}

Soit u=x \Rightarrow du=dx

dv=e^{x}dx \Rightarrow v=e^{x}

On obtient:

(1)   \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int xe^{x}\, dx}&={\displaystyle xe^{x}- \int e^{x}\, dx}\\ &={\displaystyle xe^{x}- e^{x}+C} \end{split} \end{equation*}

 Finalement:

{\displaystyle \int xe^{x}\, dx=(x-1)e^{x}+C}

 

Problème 14
Evaluer: {\displaystyle \int e^{2x} \sin 3x\, dx}

Soit u=\sin3x \Rightarrow du=3\cos 3x dx

dv=e^{2x}dx \Rightarrow v=\frac{1}{2}e^{2x}

On a:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int e^{2x} \sin 3x\, dx}& = {\displaystyle \frac{1}{2} \sin (3x) e^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x} 3\cos 3x\, dx}\\ &={\displaystyle \frac{1}{2} \sin (3x) e^{2x}-\frac{3}{2}\int e^{2x} \cos 3x\, dx} \end{split} \end{equation*}

On recommence le processus:

Soit u=\cos3x \Rightarrow du=-3\sin 3x dx

dv=e^{2x}dx \Rightarrow v=\frac{1}{2}e^{2x}

(3)   \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int e^{2x} \sin 3x\, dx}&={\displaystyle \frac{1}{2} \sin (3x) e^{2x}-\frac{3}{2}[\frac{1}{2} \cos (3x) e^{2x}+\frac{3}{2}\int e^{2x} \sin 3x\, dx]}\\ &= {\displaystyle \frac{1}{2} \sin (3x) e^{2x}-\frac{3}{4}\cos (3x) e^{2x}-\frac{9}{4}\int e^{2x} \sin 3x\, dx \end{split} \end{equation*}

Une fraction de l’intégrale d’origine:

{\displaystyle (1+\frac{9}{4})\int e^{2x} \sin 3x\, dx}={\displaystyle \frac{1}{2} \sin (3x) e^{2x}-\frac{3}{4}\cos (3x) e^{2x}+C}

{\displaystyle \frac{13}{4}\int e^{2x} \sin 3x\, dx}={\displaystyle \frac{1}{2} \sin (3x) e^{2x}-\frac{3}{4}\cos (3x) e^{2x}+C}

{\displaystyle \int e^{2x} \sin 3x\, dx}={\displaystyle \frac{2}{13} \sin (3x) e^{2x}-\frac{3}{13}\cos (3x) e^{2x}+C}

 {\displaystyle \int e^{2x} \sin 3x\, dx}={\displaystyle \frac{e^{2x}}{13} (2\sin 3x -3\cos 3x )+C}

Finalement:

{\displaystyle \int e^{2x} \sin 3x\, dx}={\displaystyle \frac{e^{2x}}{13} (2\sin 3x -3\cos 3x )+C}

 

Problème 15
Evaluer: {\displaystyle \int  \sin^{-1} x\, dx}

Soit u=\sin^{-1} x \Rightarrow du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}

dv=dx \Rightarrow v=x

On écrit:

(4)   \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int  \sin^{-1} x\, dx}&={\displaystyle x sin^{-1} x- \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx}\\ &={\displaystyle x sin^{-1} x+ \frac{1}{2} \int \frac{-2x}{\sqrt{1-x^{2}}}}\\ &={\displaystyle x sin^{-1} x-\sqrt{1-x^{2}}+C \end{split} \end{equation*}

Finalement:

{\displaystyle \int  \sin^{-1} x\, dx}={\displaystyle x sin^{-1} x-\sqrt{1-x^{2}}+C}

 

Problème 16
Evaluer: {\displaystyle \int  e^{x} \cos x\, dx}

Soit u=e^{x} \Rightarrow du=e^{x}\, dx

dv=\cos x\,dx \Rightarrow v=\sin x

On écrit:

{\displaystyle \int  e^{x} \cos x\, dx}={\displaystyle e^{x} \sin x - \int  e^{x} \sin x\, dx}

On recommence:

Soit u=e^{x} \Rightarrow du=e^{x}\, dx

dv=\sin x\,dx \Rightarrow v=-\cos x

Revenant à l’équation d’origine:

{\displaystyle \int  e^{x} \cos x\, dx}={\displaystyle e^{x} \sin x -[-e^{x} \cos x + \int  e^{x} \cos x\, dx]}

{\displaystyle \int  e^{x} \cos x\, dx}={\displaystyle e^{x} \sin x + e^{x} \cos x - \int  e^{x} \cos x\, dx}

{\displaystyle 2\int  e^{x} \cos x\, dx}={\displaystyle e^{x} \sin x + e^{x} \cos x + C}

{\displaystyle \int  e^{x} \cos x\, dx}={\displaystyle \frac{e^{x}}{2}( \sin x + \cos x )+ C}

Finalement:

{\displaystyle \int  e^{x} \cos x\, dx}={\displaystyle \frac{e^{x}}{2}( \sin x + \cos x )+ C}

 

Problème 17-  Cas Spécial
Evaluer: {\displaystyle \int \sec^{n} x \, dx}

Quand n est un grand nombre naturel, on réduit n par 2 pour créer une situation où on doit intégrer \sec^{2} x

Nous posons:

Soit u=\sec^{n-2}x \Rightarrow du=(n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx

dv=\sec^{2} x \,dx \Rightarrow v=\tan x

Nous avons:

{\displaystyle \int \sec^{n} x \, dx} ={\displaystyle \sec^{n-2}x \tan x- (n-2) \int \sec^{n-2} x \tan^{2} x \, dx}

Ou:

{\displaystyle \int \sec^{n} x \, dx} ={\displaystyle \sec^{n-2}x \tan x- (n-2) \int \sec^{n-2} x (\sec^{2} x-1) \, dx}

{\displaystyle \int \sec^{n} x \, dx} ={\displaystyle \sec^{n-2}x \tan x- (n-2) \int \sec^{n} x \, dx+  (n-2) \int \sec^{n-2} x \, dx}

Nous retrouvons l’intégrale d’origine à droite. On regroupe et on obtient:

{\displaystyle (n-2+1)\int \sec^{n} x \, dx} ={\displaystyle \sec^{n-2}x \tan x+  (n-2) \int \sec^{n-2} x \, dx}

{\displaystyle (n-1)\int \sec^{n} x \, dx} ={\displaystyle \sec^{n-2}x \tan x+  (n-2) \int \sec^{n-2} x \, dx}

Nous avons:

{\displaystyle \int \sec^{n} x \, dx} ={\displaystyle \frac{ \sec^{n-2}x \tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}  \int \sec^{n-2} x\, dx}

Formule utile pour la suite:

{\displaystyle \int \sec x \, dx} ={\displaystyle \ln |\sec x+ \tan x | +C}

 

Problème 18
Evaluer: {\displaystyle \int \sec^{5} x \, dx}

Soit u=\sec^{5-2}x \Rightarrow du=(5-2)\sec^{5-2} x \tan x \, dx

Ou bien:

u=\sec^{3}x \Rightarrow du=3\sec^{3} x \tan x \, dx

dv=\sec^{2} x \,dx \Rightarrow v=\tan x

Nous obtenons:

{\displaystyle \int \sec^{5} x \, dx} = {\displaystyle \frac{1}{4}\sec^{3}x \tan x +\frac{3}{4} \int \sec^{3} x \, dx}

Juste pour blaguer:

{\displaystyle \int \sec^{3} x \, dx} ={\displaystyle \int \sec^{2} x \sec x \, dx}

Soit u=\sec x \Rightarrow du=\sec x \tan x \, dx

dv=\sec^{2} x \,dx \Rightarrow v=\tan x

{\displaystyle \int \sec^{3} x \, dx} ={\displaystyle \sec x \tan x-\int \sec x \tan x \tan x \,dx}

 {\displaystyle \int \sec^{3} x \, dx}={\displaystyle \sec x \tan x-\int \sec x \tan^{2} x \,dx}

{\displaystyle \int \sec^{3} x \, dx}={\displaystyle \sec x \tan x-\int \sec x (\sec^{2} x-1) \,dx}

{\displaystyle \int \sec^{3} x \, dx}={\displaystyle \sec x \tan x-\int \sec^{3} x+ \int \sec x \,dx}

{\displaystyle 2\int \sec^{3} x \, dx}={\displaystyle \sec x \tan x+ \int \sec x \,dx}

{\displaystyle 2\int \sec^{3} x \, dx}={\displaystyle \sec x \tan x+ \ln| \sec x + tan x |+C}

{\displaystyle \int \sec^{3} x \, dx}={\displaystyle \frac{1}{2}(\sec x \tan x+ \ln| \sec x + tan x |)+C}

Revenant à l’équation d’origine:

{\displaystyle \int \sec^{5} x \, dx} = {\displaystyle \frac{1}{4}\sec^{3}x \tan x +\frac{3}{4}\cdot  \frac{1}{2}(\sec x \tan x+ \ln| \sec x + tan x |)+C}

{\displaystyle \int \sec^{5} x \, dx} = {\displaystyle \frac{1}{4}\sec^{3}x \tan x +\frac{3}{8}(\sec x \tan x+ \ln| \sec x + tan x |)+C}

Finalement:

{\displaystyle \int \sec^{5} x \, dx} = {\displaystyle \frac{1}{4}\sec^{3}x \tan x +\frac{3}{8}(\sec x \tan x+ \ln| \sec x + tan x |)+C}

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