Introduction aux matrices

Avant de commencer la résolution des équations, je vais rapidement introduire le calcul matriciel.

Les tables peuvent à tout moment être représentées sous forme de matrice.

On peut dire qu’une matrice est une forme de tableau de nombres.

Les dimensions d’une matrice sont le nombre de ses lignes et de ses colonnes. Une matrice ayant 3 lignes et 5 colonnes se dit une matrice de dimensions $3 \times 5$ ou “3 sur 5”

$M=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & x_{25} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & x_{35} \end{bmatrix}$

$M=\begin{bmatrix} 3 & -5 & 2 & 0 & 4 \\ 7 & 22 & \frac{3}{4} & 2 & 8 \\ 1 & 15 & 7 & 4 &12 \end{bmatrix}$

$M=\begin{pmatrix} 3 & -5 & 2 & 0 & 4 \\ 7 & 22 & \frac{3}{4} & 2 & 8 \\ 1 & 15 & 7 & 4 &12 \end{pmatrix}$

Ou une autre notation:

$M=\begin{Vmatrix} 3 & -5 & 2 & 0 & 4 \\ 7 & 22 & \frac{3}{4} & 2 & 8 \\ 1 & 15 & 7 & 4 &12 \end{Vmatrix}$

Ou aussi:

$M=\begin{Bmatrix} 3 & -5 & 2 & 0 & 4 \\ 7 & 22 & \frac{3}{4} & 2 & 8 \\ 1 & 15 & 7 & 4 &12 \end{Bmatrix}$

Toutes ces formes peuvent s’utiliser. Nous utiliserons la forme 1 dans la plupart des cas.

Les nombres contenus dans une matrice sont appelés $éléments$ . Chaque élément a sa propre adresse

Comme dans le cas des tableurs excel, un élément denote l’intersection d’une ligne et d’une colonne.

Si nous prenons l’élément à la troisième ligne et seconde colonne, nous aurons 15

Nous pouvons l’appeler $m_{32}=15$

Comparaison de matrices:

Deux matrices sont égales lorsque ces matrices ont la même dimension avec des éléments correspondants qui sont égaux.

Operations sur les matrices:

Addition et soustraction: Quand deux matrices ont la même dimension, nous pouvons les additionner ou les soustraire en additionnant ou en soustrayant les éléments correspondant.

Si nous prenons les matrices suivantes:

$M=\begin{bmatrix} 3 & 0 &-2 \\ 6 &1 &5 \end{bmatrix}$

$N=\begin{bmatrix} 2 &3 &-1 \\ -2 &5 &2 \end{bmatrix}$

Nous pouvons les additionner ou prendre leur différence par le fait que ces matrices sont de la même dimension $2\times 2$

$M+N=\begin{bmatrix} 3+2 & 0+3 &-2-1 & \\ 6 -2&1+5 &5+2 \end{bmatrix}$

$M+N=\begin{bmatrix} 5 & 3 &-3 & \\ 4&6 &7 \end{bmatrix}$

Pour la soustraction:

$M-N=\begin{bmatrix} 3-2 & 0-3 &-2-(-1) & \\ 6-( -2)&1-5 &5-2 \end{bmatrix}$

$M-N=\begin{bmatrix} 1 & -3 &-1 & \\ 8&-4 &3 \end{bmatrix}$

Multiplication Scalaire:

Pour multiplier une matrice par un nombre, on multiplie chaque élément par ce nombre:

$3M=\begin{bmatrix} 3 \times 3 & 0 \times 3 &-2 \times 3 \\ 6 \times 3 &1 \times 3 &5\times 3 \end{bmatrix}$

$3M=\begin{bmatrix} 9 & 0 &-6 \\ 18 &3 & 15 \end{bmatrix}$

-Si nous multiplions une $matrice$ par un nombre $k$ , tous les éléments doivent être multipliés par ce nombre.

Si $k=-1$ , la multiplication donne $l'opposé$ de la matrice originale.

$M\times (-1)=-M$

Propriétés:

Les propriétés algébriques s’appliquent à l’addition des matrices:

-Commutativité: $M+N=N+M$

-Elément neutre : La matrice $m\times n$ ayant seulement $0$ comme éléments est la matrice neutre pour l’addition.

-Associativité $(M+N)+O=M+(N+O)$

-En fin, l’opposé a tous ses éléments qui sont l’opposé des éléments correspondants de $M$

Multiplication de matrices

Pour que la multiplication soit possible nous devons avoir les conditions suivantes:

Le nombre de colonnes de la matrice de gauche doit être égal au nombre de lignes de la matrice de droite.

La matrice produit a le même nombre de lignes que la matrice à gauche et le même nombre de colonnes que la matrice à droite.

Si $A=m\times n$ et $B=u\times v$ , pour qu’il y ait multiplication il faut que $n=u$

Après la multiplication: $C=A\times B$ aura pour dimensions $m\times v$

Processus: Pour trouver un élément de $C$ en ligne $i$ et colonne $j$ of $C$ , nous devons prendre la somme des produits des éléments correspondant en ligne $i$ de $A$ et colonne $j$ de $B$

Exemple:

$A=\begin{bmatrix} 5 & 3 &2 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 4\\1\\-2 \end{bmatrix}$

Dans ce cas :

$A$ is a $1\times 3$ matrix.

$B$ is a $3 \times 1$ matrix

La matrice produit $C$ = $A\times B$ est une matrice de dimensions $1 \times 1$ .

$C=\begin{bmatrix} 5 & 3 &2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 4\\1\\-2 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} (5 \times 4)+ (3 \times 1) +(2 \times (-2)) \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 19 \end{bmatrix}$

Un autre exemple

$R=\begin{bmatrix} 2&-3 \\0&5\\-2&0\end{bmatrix}$

$W=\begin{bmatrix} 5&0 \\4&7 \end{bmatrix}$

$R$ est une matrice de dimensions $3\times 2$ .

$W$ est une matrice de dimensions $2 \times 2$ .

La matrice produit $M$ = $R\times W$ est une matrice $3 \times 2$ .

$M=\begin{bmatrix} 2&-3 \\0&5\\-2&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5&0 \\4&7 \end{bmatrix}$

$M=\begin{bmatrix} (2\times 5)+(4\times (-3))& (2 \times 0)+(7 \times (-3))\\(0 \times 5)+(5 \times 4)& (0 \times 0)+(5 \times 7)\\((-2) \times 5)+(0 \times 4)&((-2)\times 0)+(0 \times 7) \end{bmatrix}$

$M=\begin{bmatrix} 10-12& 0-21\\0+20& 0+35\\-10+0&0+0 \end{bmatrix}$

$M=\begin{bmatrix} -2& -21\\20& 35\\-10&0 \end{bmatrix}$

Pour des matrices de plus grande dimension

$A=\begin{bmatrix} 1& -3&-2\\1&4&2\\5& 1&3 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 2& -2&-4\\5&3&1\\-1& 2&3 \end{bmatrix}$

$A$ est une matrice $3\times 3$ .

$B$ est une matrice $3 \times 3$ .

La matrice produit $M$ = $A\times B$ est une matrice $3 \times 3$ .

$M=\begin{bmatrix} 1& -3&-2\\1&4&2\\5& 1&3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2& -2&-4\\5&3&1\\-1& 2&3 \end{bmatrix}$

$M=\begin{bmatrix} (1\times 2)+((-3)\times 5+((-2)\times(-1))& (1\times (-2))+((-3)\times 3+((-2)\times 2)& (1\times (-4))+((-3)\times 1+((-2)\times 3)\\ (1\times 2)+((4)\times 5+(2\times(-1))& (1\times (-2))+(4 \times 3+(2 \times 2)& (1\times (-4))+(4\times 1+(2 \times 3)\\ (5\times 2)+(1\times 5+(3 \times(-1))& (5 \times (-2))+(1 \times 3+(3 \times 2)& (5 \times (-4))+(1 \times 1+(3\times 3) \end{bmatrix}$

$M=\begin{bmatrix} (2-15+2)& (-2-9-4)& (-4-3-6)\\ (2+20-2)& (-2+12+4)& (-4+4+6)\\ (10+ 5-3)& (-10 3+6)& (-20+1+9) \end{bmatrix}$

En fin:

$M=\begin{bmatrix} -11& -15&-13\\20&14&6\\12&-1& -10 \end{bmatrix}$

Dans une matrice $m\times n$ , chaque élément est $a_{ij}$ avec $i$ la ligne de l’élément et $j$ la colonne de l’élément.

SOMMAIRE:

Si $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ et $M=(m_{ij})$ :

La Matrice $A=B$ si et seulement si pour chaque $i$ et $j$ , $a_{ij}=b_{ij}$

La Matrice $M=A+B$ Si et seulement si pour chaque $i$ et $j$ , $m_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

L’opposé $-M$ de $M=(m_{ij})$ est la matrice $(-m_{ij})$

Le produit d’un nombre réel $k$ et d’une matrice $M=(m_{ij})$ vaut $kM=(km_{ij})$

Lorsque la multiplication peut avoir lieu, $M$ matrice produit de $A$ et de $B$ a les éléments $m_{ij}=a_{i1}b{1j}+ a_{i2}b{2j}+\cdots + a_{in}b{nj}$

Matrices importantes

Matlab se base beaucoup sur le calcul matriciel. C’est important de savoir l’existence de certains types de matrices.

Matrice Carrée

Le nombre de lignes vaut le nombre de colonnes dans ce type de matrices

Si $M$ est une matrice $n \times n$ , on l’appelle $Matrice \; Carrée$ .

Dans ce cas, $M$ est une matrice d’ordre $n$ .

Les éléments de la diagonale principale de $n$ sont $a_{11},a_{22},a_{33},\cdots a_{nn}$

Matrice Identité

Matrice qui se note $I_n$ est une matrice d’ordre $n$ avec chaque élément de la diagonale principale qui vaut $1$ et tous les autres éléments valent $0$ .

Exemples

$I_2=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}$

$I_3=\begin{bmatrix} 1& 0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

Nous pouvons noter que:

$MI_n=M=I_nM$

Matrice Inverse

L’inverse de la matrice $A$ d’ordre $n$ que l’on désigne $A^{-1}$ , appelé $Inverse de\;A$ est telle que: $AA^{-1}=I_n=A^{-1}A$

Certaines matrices n’ont pas d’inverse.

Trouver l’inverse sans utiliser les $determinants$ est long.

Des vidéos sont prévues à cet effet.

En résolvant l’équation $AB=I$ , on trouve $B$

Exemple:

$A=\begin{bmatrix} 2&5\\3&7 \end{bmatrix}$

$I_2=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}$

Nous avons

$A^{-1}=\begin{bmatrix} k&l\\m&n \end{bmatrix}$

Mais $AA^{-1}=I_2$ puisque $A$ est d’ordre 2.

Nous avons

$\begin{bmatrix} 2&5\\3&7 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} k&l\\m&n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}$

$2k+5m=1$

$2l+5n=0$

$3k+7m=0$

$3l+7n=1$

Nous trouvons:

$k=-7, l=5, m=3, n=-2$

Enfin:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} -7&5\\3&-2 \end{bmatrix}$

Matrice Transposée:

La transposée de $M$ que l’on note $M^T$ est une nouvelles matrice dont les colonnes sont les lignes de $M$ et dont les lignes sont les colonnes de $M$ .

Si nous avons:

$M=\begin{bmatrix} 3 & -5 & 2 & 0 & 4 \\ 7 & 22 & \frac{3}{4} & 2 & 8 \\ 1 & 15 & 7 & 4 &12 \end{bmatrix}$

$M^T=\begin{Vmatrix} 3 & -5 & 2 & 0 & 4 \\ 7 & 22 & \frac{3}{4} & 2 & 8 \\ 1 & 15 & 7 & 4 &12 \end{Vmatrix}^T$

$M^T=\begin{bmatrix} 3 & 7 &1 \\ -5 & 22 &15\\ 2 &\frac{3}{4} & 7\\0 &2&4\\4&8&12\end{bmatrix}$

Nous remarquons que:
$M$ est une matrice $3 \times 5$ et
$M^T$ est une matrice $5 \times 3$ .

On peut dire que:
If $A=(a_{ij}) \Rightarrow A^T=(a_{ji})$

Aussi noter que:
$A^{(T)^T}=A$

Déterminants:

Toute matrice carrée est associée à un déterminant.

Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est différent de 0.

Pour une matrice $M$ ,

Le déterminant est $\left |M \right |$

A ne pas confondre avec la $Valeur \; Absolue$ de $M$ .

Dans certains documents le déterminant est écrit $det (M)$ pour éviter toute confusion.

Matrice d’ordre 1

C’est une matrice avec un seul élément.

$M=\begin{bmatrix} m_{11} \end{bmatrix}$

Le déterminant de $M$ est :

$\left |M \right |=m_{11}$

Matrice d’ordre 2

Ce type de matrice carrée est une matrice $2 \times 2$ .

$M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}\end{vmatrix}$

$\left |M \right |=m_{11}m_{22}-m_{21}m_{12}$

Exemple:

$M=\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

Le déterminant:

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 &5 \\1 & 3\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=(2)(3)-(5)(1)=6-5=1$

Mineurs and Cofacteurs:

Pour une matrice carrée d’un ordre $n>0$ , nous utiliserons les mineurs et cofacteurs pour calculer le déterminant:

Si $M=(m_{ij})$ est une matrice carrée d’ordre $n$ ,

Le $mineur$ $M_{ij}$ de l’élément $m_{ij}$ est le déterminant de la matrice d’ordre $n-1$ avec le ligne $i$ et la colonne $j$ effacées.

Le $Cofacteur$ $C_{ij}$ is $C_{ij}=(1)^{i+j}M_{ij}$

Le déterminant de $M$ d’ordrer $n$ se calcule comme suit:

-Lexpansion du cofacteur d’une ligne donnée (Choisir la ligne contenant le plus de $0$ pour accélérer les calculs:

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=m_{11}C_{11}+m_{12}C_{12}+ \cdots +m_{1n}C_{1n}$ . Par la ligne 1 ici.

Ou par les mineurs:

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=m_{11}M_{11}-m_{12}M_{12}+\cdots +m_{1n}(-1)^{1+n}M_{1n}$

Exemple:

$M=\begin{bmatrix} 2 & -5 & 2 \\ 3 & 4 &-3 \\ 6 &1 &0 \end{bmatrix}$

Utilisons la ligne 3 qui contient un $0$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=6C_{31}+1C_{32}+0C_{33}$

$C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+\begin{vmatrix}-5&2\\4&-3 \end{vmatrix}=15-8=7$

$C_{32}=(-1)^{3+2}M_{31}=-\begin{vmatrix}2&2\\3&-3 \end{vmatrix}=-(-6-6)=12$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=(6)(7)+(1)(12)=42+12=54$

Enfin:

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=54$

Transformations des lignes d’une matrice

On peut transformer une matrice originale en effectuant une ou toutes les operations suivantes:

– En interchangeant deux lignes.

-En multipliant une ligne par un facteur $k \neq 0$

– En multipliant ou divisant une ligne par un facteur $k\neq 0$ et en ajoutant le résultat obtenu à une autre ligne pour la changer.

Prenons le système d’équations suivant:

$\begin{cases} x+2y- z= 0\\3x+2y+ z=-4\\5x- y+3z=-2 \end{cases}$

Ecrivons la matrice augmentée:

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 3 &2 & 1 &-4 \\ 5 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right]$

Pour la nouvelle ligne 2, multiplions la ligne 1 par $-3$ et ajoutons à la ligne 2. Le résultat devient la nouvelle ligne 2.

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 &-4 & 4 &-4 \\ 5 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right]$

Pour cette étape, divisons la ligne 2 par $-4$

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 &1 & -1 &1 \\ 5 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right]$

Multiplions maintenant la ligne 1 par $-5$ et ajoutons à la ligne 3. Le résultat devient la nouvelle ligne 3.

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 &1 & -1 &1 \\ 0 & -11 & 8 & -2 \\ \end{array} \right]$

Multiplions maintenant la ligne 2 par $11$ et ajoutons à la ligne 3. Le résultat devient la nouvelle ligne 3.

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 &1 & -1 &1 \\ 0 & 0 & -3 & 9 \\ \end{array} \right]$

On peut maintenant écrire:

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 3 &2 & 1 &-4 \\ 5 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right]$ = $\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 &1 & -1 &1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ \end{array} \right] \Rightarrow \begin{cases} x+2y- z= 0\\3x+2y+ z=-4\\5x- y+3z=-2 \end{cases}= \begin{cases} x+2y- z= 0\\y- z=-1\\z=-3 \end{cases}$

Utilisation de l’inverse $A^{-1}$ de la matrice $A$

1: Trouver le déterminant $det(A)$ , doit être non-zero.

2: Trouver la matrice transposée $A^T$

3: Trouver la comatrice, avec chaque élément $A^T$ remplacé par son cofacteur $(1)^{i+j}A^T_{ij}$

4:Trouver la matrice inverse $A^{-1}$ en divisant la matrice trouver à l’étape 3 par le déterminant $det(A)$ trouvé au 1.

$A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ -2 & 1 &3 \\ 2 & -3 & 1\end{bmatrix}$

$det(A)=5(1+9)+3(-2-6)+2(6-2)=50-24+8=34$

$A^T==\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ -3 & 1 &-3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$

La comatrice :
$\begin{bmatrix} 10 & -3 & -11 \\ 8 & 1 &-19 \\ 4 & 9 & -1\end{bmatrix}$

La matrice inverse $A^{-1}$

$A^{-1}=\frac{1}{34}\begin{bmatrix} 10 & -3 & -11 \\ 8 & 1 &-19 \\ 4 & 9 & -1\end{bmatrix}$

Déterminants: Règle de Sarrus

Pour une matrice de dimension 3 x 3, il existe une règle appelée règle de Sarrus utilisée pour simplifier les calculs des déterminants. Avec cette méthode, on n’a pas besoin de cofacteurs.

D’autres méthodes sont suggérées pour les matrices de dimensions $4\times 4$ et d’ordre supérieur. Cependant, dans ce texte, nous allons nous limiter nos calculs aux matrices de dimensions $3\times 3$ .

Processus:

Nous ajoutons la première colonne comme quatrième colonne et la deuxième colonne comme cinquième colonne.

Si nous avons une matrice:

$M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22}& m_{23}\\ m_{31} & m_{32}& m_{33} \end{bmatrix}$

Le déterminant:

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22}& m_{23}\\ m_{31} & m_{32}& m_{33} \end{vmatrix}$

Maintenant nous ajoutons les deux premières colonnes:
$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}& m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}& m_{23}& m_{21} & m_{22}\\ m_{31} & m_{32}& m_{33}& m_{31} & m_{32} \end{vmatrix}$

On prend la somme des diagonales descendantes de 3 éléments chacune et l’on soustrait la somme des diagonales ascendantes:

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=\left( (m_{11}\cdot m_{22}\cdot m_{33})+(m_{12}\cdot m_{23}\cdot m_{31})+(m_{13}\cdot m_{21}\cdot m_{32})\right)- \left( (m_{31}\cdot m_{22}\cdot m_{13})+(m_{32}\cdot m_{23}\cdot m_{11})+(m_{33}\cdot m_{21}\cdot m_{12})\right)$

Résoudre en utilisant la Règle de Sarrus:

$\begin{cases}5x+2y-z=-7\\ x-2y+2z=0\\3y+z=17\end{cases}$

$D=\begin{vmatrix} 5&2&-1 \\1&-2&2\\ 0&3&1 \end{vmatrix}$

$D=\begin{vmatrix} 5&2&-1&5&2 \\1&-2&2&1&-2\\ 0&3&1&0&3 \end{vmatrix}=(5\cdot(-2)\cdot 1)+(2\cdot 2 \cdot 0)+(-1 \cdot 1 \cdot 3)-\left((0 \cdot (-2) \cdot(-1))+(3\cdot 2 \cdot 5)+(1 \cdot 1 \cdot 2) \right)$

$D=-10+0-3-(0+30+2)=-13-32=-45$

Maintenant pour $x$

$D_x=\begin{vmatrix} -7&2&-1 \\0&-2&2\\ 17&3&1 \end{vmatrix}$

$D_x=\begin{vmatrix} -7&2&-1&-7&2 \\0&-2&2&0&-2\\ 17&3&1&17&3 \end{vmatrix}=((-7\cdot(-2)\cdot 1)+(2\cdot 2 \cdot 17)+(-1 \cdot 0 \cdot 3)-\left((17 \cdot (-2) \cdot(-1))+(3\cdot 2 \cdot (-7))+(1 \cdot 0 \cdot 2) \right)$

$D_x=14+68+0-(34-42+0)=82+8=90$

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{90}{-45}=-2$

Pour $y$

$D_y=\begin{vmatrix} 5&-7&-1 \\1&0&2\\ 0&17&1 \end{vmatrix}$

$D_y=\begin{vmatrix} 5&-7&-1&5&-7 \\1&0&2&1&0\\ 0&17&1&0&17 \end{vmatrix}=(5\cdot 0\cdot 1)+((-7)\cdot 2 \cdot 0)+(-1 \cdot 1 \cdot 17)-\left((0 \cdot 0 \cdot(-1))+(17\cdot 2 \cdot 5)+(1 \cdot 1 \cdot -7) \right)$

$D_y=0+0-17-(0+170-7)=-17-163=-180$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-180}{-45}=4$

Pour $z$

$D_{z}=\begin{vmatrix} 5&2&-1 \\1&-2&2\\ 0&3&1 \end{vmatrix}$

$D_z=\begin{vmatrix} 5&2&-7&5&2 \\1&-2&0&1&-2\\ 0&3&17&0&3 \end{vmatrix}=(5\cdot (-2)\cdot 17)+(2 \cdot 0 \cdot 0)+(-7 \cdot 1 \cdot 3)-((0 \cdot (-2) \cdot(-7))+(3\cdot 0 \cdot 5)+(17 \cdot 1 \cdot 2))$

$D_z=-170+0-21-(0+0+34)=-170-21-34=-225$

$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-225}{-45}=5$

En fin, la solution est $x=-2,\quad y=4, \;and \; z=5$

Trouver un nombre xyzuw

Un nombre de 5 chiffres s’écrit xyzuw.

La somme de ses chiffres est de 22.

En changeant l’ordre des chiffres et l’écrivant xywuz, sa valeur est augmentée de 297.

Le chiffre x ajouté au chiffre u et de 2 fois les chiffres y et w, et puis diminué de 3 fois le chiffre z donne 21.

Deux fois le chiffre x ajouté au chiffre z et puis diminué de 3 fois le chiffre y et de 4 fois le chiffre w donne -34

Deux fois le chiffre u diminué du chiffre w et de 3 fois le chiffre z donne -1.

Trouver le nombre xyzuw.

Résolution par substitution:

$\begin{cases}{} x+y+z+u+w=22 \qquad (1)\\ -z+w=3 \qquad (2)\\ x+2y-3z+u+2w=21 \qquad (3)\\ 2x-3y+z-4w=-34 \qquad (4)\\ -3z+2u-w=-1 \qquad (5)\end{cases}$

De $(2)$ nous avons:

$-z+w=3 \Rightarrow w=3+z$

$w=3+z$

De $(5)$ :

$-3z+2u-w=-1$

En remplaçant $w$ par sa valeur de $3+z$

$-3z+2u-(3+z)=-1$

$-3z+2u-3-z=-1$

$2u-4z=2$

$u=2z+1$

Nous allons diminuer $(1)$ de $(3)$ :

$y-4z+w=-1$

$y-4z+3+z=-1$

$y-3z=-4$

$y=3z-4$

In $(4)$ :

$2x-3y+z-4w=-34$

$2x-3(3z-4)+z-4(3+z)=-34$

$2x-9z+12+z-12-4z=-34$

$2x-12z=-34$

$x-6z=-17$

$x=6z-17$

En remplaçant toutes ses variables par leur valeur dans $(1)$ :

$x+y+z+u+w=22$

$6z-17+3z-4+z+2z+1+3+z=22$

$13z=39$

$z=3$

$x=6z-17 \Rightarrow x=6\times3-17$

$x=1$

$y=3z-4 \Rightarrow y=3\times3-4$

$y=5$

$u=2z+1 \Rightarrow u=2\times3+1$

$u=7$

$w=3+z \Rightarrow w=3+3$

$w=6$

En fin:Le nombre recherché est de:

$15376$

Video sur la solution par substitution

Utilisation de la Matrice inverse:

Nous avons la matrice augmentée:

$M=\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1&1&22 \\ 0 & 0 & -1 & 0&1&3 \\1 & 2 & -3 & 1&2&21\\2 & -3 & 1 & 0&-4&-34\\0 & 0 & -3 & 2&-1&-1 \end{array} \right]$

En prenant $ligne3=-ligne1+ligne3$

$M=\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1&1&22 \\ 0 & 0 & -1 & 0&1&3 \\0 & 1 & -4 & 0&1&-1\\2 & -3 & 1 & 0&-4&-34\\0 & 0 & -3 & 2&-1&-1 \end{array} \right]$

En prenant $ligne5=-3\times ligne2+ligne5$

$M=\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1&1&22 \\ 0 & 0 & -1 & 0&1&3 \\0 & 1 & -4 & 0&1&-1\\2 & -3 & 1 & 0&-4&-34\\0 & 0 & 0 & 2&-4&-10 \end{array} \right]$

Trouver: $det(M)$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1\\0 & 0 & -1 & 0&1\\0 & 1 & -4 & 0&1\\2 & -3 & 1 & 0&-4\\0 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}$

On utilise la ligne 2 qui ne contient que 2 valeurs: $-1$ se trouvant sur la ligne 2 et la colonne 3, $(-1)^{2+3}=-1$ De même que pour 1 (ligne 2 colonne 5).

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=+1\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\\2 & -3 & 0 & -4\\0 & 0 & 2 & -4\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & -4 & 0\\2 & -3 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=+1\left(1\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\2 & 0 & -4\\0 & 2 & -4\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\2 & -3 & 0\\0 & 0 & 2\end{vmatrix}\right)-1\left(2\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -4\\2 & -3 & 1\end{vmatrix}\right)$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=+1(1(0+8)-1(-8+0)+1(4-0))+1(2(-3-2))-2(1(1-2)+4(-3-2))$

$\begin{vmatrix}M \end{vmatrix}=+1(8+8+4)-10 -2(-1-20)=20-10+42=52$

Le determinant $\neq 0$ , ainsi la matrice est inversible:

La transposée de $M$ est

$M^T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2&0\\1 & 0 & 1 & -3&0\\1 & -1 & -4 & 1&0\\1 & 0 & 0 & 0&2\\1 &1 & 1 & -4&-4 \end{bmatrix}$

La comatrice a 25 éléments, nous calculerons 2 éléments, le reste pourra être calculé comme exercice.

Pour $m_{11}$ de la comatrice:

$m_{11}=+\begin{vmatrix}0 & 1 & -3&0\\-1 & -4 & 1&0\\0 & 0&0 & 2\\1 & 1&-4 &-4\end{vmatrix}$

$m_{11}=-2(-1(4-1)-3(-1+4))=-2(-3-9)=24$

Pour $m_{12}$ de la comatrice:

$m_{12}=-\begin{vmatrix}1 & 1 & -3&0\\1 & -4 & 1&0\\1 & 0&0 & 2\\1 & 1&-4 &-4\end{vmatrix}$

$m_{12}=-\left(\begin{vmatrix} 1 & -3&0\\-4 & 1&0\\1 & -4&-4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1 & 1 & -3\\1 & -4 & 1\\1 & 1&-4\end{vmatrix}\right)$

$m_{12}=-(1(-4+0)+3(16+0)-2(1(16-1)-1(-4-1)-3(1+4)))$

$m_{12}=-(-4+48-2(15+5-15))=-(44-10)=-34$

Finalement nous avons:

$comatrice=\begin{bmatrix}24 & -34 & 18 & 14&-12\\12 & -82 & 22 & -6&-6\\4 & -10 & -10 & -2&-2\\8 & 84 & -20 & -4&22\\4 &42 & -10 & -2&-2 \end{bmatrix}$

La matrice $B$ est de:

$B=\begin{bmatrix}22\\3\\-1\\-34\\-10\end{bmatrix}$

La solution est de:

$X=\frac{1}{52}\begin{bmatrix}24 & -34 & 18 & 14&-12\\12 & -82 & 22 & -6&-6\\4 & -10 & -10 & -2&-2\\8 & 84 & -20 & -4&22\\4 &42 & -10 & -2&-2 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}22\\3\\-1\\-34\\-10\end{bmatrix}$

$X=\begin{bmatrix}1\\5\\3\\7\\6\end{bmatrix}$

Cramer’s rule

Nous avions preparé la solution en haut et avons trouvé un système d’équations simple.

Comme pratique il faut calculer les matrices suivantes:

$x=\frac{\begin{vmatrix}22 & 1 & 1 & 1&1\\3 & 0 & -1 & 0&1\\-1 & 1 & -4 & 0&1\\-34 & -3 & 1 & 0&-4\\-10 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1\\0 & 0 & -1 & 0&1\\0 & 1 & -4 & 0&1\\2 & -3 & 1 & 0&-4\\0 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}22 & 1 & 1 & 1&1\\3 & 0 & -1 & 0&1\\-1 & 1 & -4 & 0&1\\-34 & -3 & 1 & 0&-4\\-10 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}{52}=\frac{52}{52}=1$

$y=\frac{\begin{vmatrix}1 & 22 & 1 & 1&1\\0 & 3 & -1 & 0&1\\0 & -1 & -4 & 0&1\\2 & -34 & 1 & 0&-4\\0 & -10 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1\\0 & 0 & -1 & 0&1\\0 & 1 & -4 & 0&1\\2 & -3 & 1 & 0&-4\\0 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}1 & 22 & 1 & 1&1\\0 & 3 & -1 & 0&1\\0 & -1 & -4 & 0&1\\2 & -34 & 1 & 0&-4\\0 & -10 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}{52}=\frac{260}{52}=5$

$z=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & 22 & 1&1\\0 & 0 & 3 & 0&1\\0 & 1 & -1 & 0&1\\2 & -3 & -34 & 0&-4\\0 & 0 & -10 & 2&-4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1\\0 & 0 & -1 & 0&1\\0 & 1 & -4 & 0&1\\2 & -3 & 1 & 0&-4\\0 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & 22 & 1&1\\0 & 0 & 3 & 0&1\\0 & 1 & -1 & 0&1\\2 & -3 & -34 & 0&-4\\0 & 0 & -10 & 2&-4 \end{vmatrix}}{52}=\frac{156}{52}=3$

$u=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 22&1\\0 & 0 & -1 & 3&1\\0 & 1 & -4 &-1&1\\2 & -3 & 1 &-34&-4\\0 & 0 & 0 & -10&-4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1\\0 & 0 & -1 & 0&1\\0 & 1 & -4 & 0&1\\2 & -3 & 1 & 0&-4\\0 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 22&1\\0 & 0 & -1 & 3&1\\0 & 1 & -4 &-1&1\\2 & -3 & 1 &-34&-4\\0 & 0 & 0 & -10&-4 \end{vmatrix}}{52}=\frac{364}{52}=7$

$w=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&22\\0 & 0 & -1 & 0&3\\0 & 1 & -4 & 0&-1\\2 & -3 & 1 & 0&-34\\0 & 0 & 0 & 2&-10 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1\\0 & 0 & -1 & 0&1\\0 & 1 & -4 & 0&1\\2 & -3 & 1 & 0&-4\\0 & 0 & 0 & 2&-4 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1&22\\0 & 0 & -1 & 0&3\\0 & 1 & -4 & 0&-1\\2 & -3 & 1 & 0&-34\\0 & 0 & 0 & 2&-10 \end{vmatrix}}{52}=\frac{312}{52}=6$

Calculer: $D_x,D_y,D_z,D_u, D_w$

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Introduction aux matrices

Introduction aux matrices

Comparaison de matrices:

Pour la soustraction:

Multiplication Scalaire:

Propriétés:

Multiplication de matrices

Déterminants:

Transformations des lignes d’une matrice

Utilisation de l’inverse $A^{-1}$ de la matrice $A$

Déterminants: Règle de Sarrus

Trouver un nombre xyzuw

Résolution par substitution:

Video sur la solution par substitution

Utilisation de la Matrice inverse:

Cramer’s rule

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