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Introduction aux nombres complexes

November 30, 2016 MathWizGle Uncategorized 0

Logarithme d’un nombre complexe

La notation d’Euler marche bien avec les nombres complexes
Pour un complexe $z$

$z=|z|e^{i\arg(z)}$

On peut facilement trouver $log(z)$ by:

$log(z)=log|z|+i\arg(z)$

Beaucoup de douments notent $Log|z|$

Notation finale

$\log(z)=Log|z|+i\arg(z)$

La solution ajoutera $i2\pi k$ à l’argument $i\arg(z)$ .

$\log(z_1z_2)=\log(z_1)+\log(z_2)$

Il faut noter que le $module$ a une valeur de $2\pi i$

$\log(z_1/z_2)=\log(z_1)-\log(z_2)$

Exemple 1:

Trouver $\log(1+i)$

$z=1+i$
$|z|=\sqrt{2}$
$\arg(z)=\frac{\pi}{4}$

$z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\log(z)=Log \sqrt{2}+i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)$

Finalement:

$\log(1+i)=Log \sqrt{2}+i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)$

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