Théorie des Limites

Théorie des Limites

Notion de limite:

Un nombre L est la limite de F(x) quand x tend vers a, si le nombre F(x) peut s’approcher infiniment de L en choisissant x suffisamment proche ou égal à a.

Dans ce cas nous aurons F(x) qui se rapproche infiniment de L quand x se rapproche infiniment de a.

Beaucoup de personnes font l’erreur en pensant que x=a. C’est une erreur quand il s’agit de la définition de la limite.

 

Le nombre L est la limite de F(x)quand x tend vers a si, pour tout nombre \varepsilon>0,il existe un autre nombre \delta>0 tel que:

    \[|F(x)-L|<\varepsilon\]

Pour tout x tel que:

    \[0<|x-a|<\delta\]

Exemple:

Evaluer

    \[\lim_{x\to 2}x^{3}\]

Si on remplit la table des valeurs de x en se rapprochant de plus en plus de 2, de la gauche et de la droite, nous voyons que x^{3} tend vers 8

C’est toujours bien de voir les valeurs proches de x pour tirer une conclusion sur la valeur de la limite.

Voyons quelques lois des limites:

Lois des limites

Limite d’une constante C:

    \[\lim_{x\to a}C=C\]

Addition, produit et division:

Soit:

    \[\lim_{x\to a}F(x)=L\]

Et

    \[\lim_{x\to a}G(x)=K\]

Nous pouvons écrire:

Addition

    \[\lim_{x\to a}[F(x) \pm G(x)]=L \pm K\]

 

Produuit

    \[\lim_{x\to a}[F(x)G(x)]=LK\]

 

Division

    \[\lim_{x\to a}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{L}{K}\]

Avec K\neq 0

 

Si n est un entier positif et a>0 Nous avons.

    \[\lim_{x\to a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}\]

 

Substitution:

 A supposer:

    \[\lim_{x \to a}g(x)=L\]

Et

    \[\lim_{x \to L}f(x)=f(L)\]

On peut écrire:

    \[\lim_{x \to a}f(g(x))=f(\lim_{x \to a}g(x))=f(L)\]

 

EXEMPLE

Montrer que: 

    \[\lim_{x \to 5}(x^{2}-8)=17\]

Solution:

En utilisant la définition ci-dessus:

Soit \varepsilon>0, Nous devons trouver \delta such

0<|x-5|<\delta implies |(x^{2}-8)-17|<\varepsilon

On sait que:

|(x^{2}-8)-17|=|x^{2}-25|=|x+5| \cdot |x-5|

Dans notre cas, Si nous rendons |x-5| infiniment petit, |x+5| ne peut pas être grand.

Si |x-5|<1

|x+5|=|(x-5)+10|\leq |x-5|+10<11

Ce qui signifie que:

0<|x-5|<\delta entraîne que |(x^{2}-8)-17|<11 \cdot |x-5|

Maintenant si \delta est le minimum des deux nombres 1 et \frac{\varepsilon}{11}

0<|x-5|<\delta entraîne que |(x^{2}-8)-17|<11 \cdot \frac{\varepsilon}{11}

Ou simplement:

0<|x-5|<\delta veut dire que |(x^{2}-8)-17|<\varepsilon

 

 Limite gauche et limite droite:

Un exemple de limite droite est:

f(x)=\frac{x}{|x|}

La fonction est simplement 1 pour x>0 et -1 si x<0

La limite gauche et la limite droite ne correspondent pas dans cette situation.

Comme conclusion nous disons que la limite n’existe pas.

La limite droite d’une fonction

A supposer que f soit définie dans un intervalle (a,c).

L est la limite droite de f(x) quand x tend vers a, et nous avons:

    \[\lim_{x \to a^{+}} f(x)=L\]

Si f(x) peut se rapprocher infiniment de L en choisissant un point x dans (c,a) infiniment proche de a.

 

La limite gauche d’une fonction

A supposer que fsoit définie dans l’intervalle ouvert (a,c).

L est la limite gauche de f(x) quand x tend vers a, et nous avons:

    \[\lim_{x \to a^{-}} f(x)=L\]

Si f(x) peut se rapprocher infiniment de L en choisissant xdans (c,a) sufiisamment proche de a.

 

THEOREME:

Si une fonction f est définie aux alentours d’un point a.

La limite de f(x) existe et est égale au nombre L si et seulement si la limite gauche et la limite droite existent et sont toutes deux égales à L.

 

Loi de compression

A supposer que f(x) \leqq g(x) \leqq h(x) aux alentours de a et que:

    \[\lim_{x \to a} f(x)=L=\lim_{x \to a} h(x)\]

On peut écrire:

    \[\lim_{x \to a} g(x)=L\]

Une loi importante dans les calculs des limites.

 

Continuité des fonctions:

Si une fonction f est définie aux alentours de a, nous pouvons dire que f est continue en a si :

    \[\lim_{x \to a} f(x)\]

existe et,

la valeur de la limite est f(a)

Pour qu’une fonction soit continue au point a:

f doit être définie en a, ce qui signifie que f(a) existe;

-la limite de  f(x) quand x tend vers a doit exister;

-la limite de f(x) est égale à f(a).

 

Limites des fonctions trigonométriques

 On peut facilement montrer que:

    \[\lim_{\theta \to 0} \cos \theta=1\]

    \[\lim_{\theta \to 0} \sin \theta=0\]

Le sinus et le cosinus sont des fonctions continues dans l’ensemble des réels.

On peut aussi prouver que:

    \[\lim_{\theta \to 0}\frac{ \sin \theta}{\theta}=1\]

 

 

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*