Théorie des Limites
Notion de limite:
Un nombre est la de quand tend vers , si le nombre peut s’approcher infiniment de en choisissant suffisamment proche ou égal à .
Dans ce cas nous aurons qui se rapproche infiniment de quand se rapproche infiniment de .
Beaucoup de personnes font l’erreur en pensant que . C’est une erreur quand il s’agit de la définition de la limite.
Le nombre est la de quand tend vers si, pour tout nombre ,il existe un autre nombre tel que:
Pour tout tel que:
Exemple:
Evaluer
Si on remplit la table des valeurs de en se rapprochant de plus en plus de 2, de la gauche et de la droite, nous voyons que tend vers
C’est toujours bien de voir les valeurs proches de pour tirer une conclusion sur la valeur de la limite.
Voyons quelques lois des limites:
Lois des limites
Limite d’une constante C:
Addition, produit et division:
Soit:
Et
Nous pouvons écrire:
Addition
Produuit
Division
Avec
Si est un entier positif et Nous avons.
Substitution:
A supposer:
Et
On peut écrire:
EXEMPLE
Montrer que:
Solution:
En utilisant la définition ci-dessus:
Soit , Nous devons trouver such
implies
On sait que:
Dans notre cas, Si nous rendons infiniment petit, ne peut pas être grand.
Si
Ce qui signifie que:
entraîne que
Maintenant si est le minimum des deux nombres et
entraîne que
Ou simplement:
veut dire que
Limite gauche et limite droite:
Un exemple de limite droite est:
La fonction est simplement pour et si
La limite gauche et la limite droite ne correspondent pas dans cette situation.
Comme conclusion nous disons que la limite n’existe pas.
La limite droite d’une fonction
A supposer que soit définie dans un intervalle (a,c).
L est la limite droite de quand tend vers , et nous avons:
Si peut se rapprocher infiniment de en choisissant un point dans infiniment proche de .
La limite gauche d’une fonction
A supposer que soit définie dans l’intervalle ouvert (a,c).
L est la limite gauche de quand tend vers , et nous avons:
Si peut se rapprocher infiniment de en choisissant dans sufiisamment proche de .
THEOREME:
Si une fonction est définie aux alentours d’un point .
La limite de f(x) existe et est égale au nombre si et seulement si la limite gauche et la limite droite existent et sont toutes deux égales à .
Loi de compression
A supposer que aux alentours de et que:
On peut écrire:
Une loi importante dans les calculs des limites.
Continuité des fonctions:
Si une fonction est définie aux alentours de , nous pouvons dire que est continue en si :
existe et,
la valeur de la limite est
Pour qu’une fonction soit continue au point :
– doit être définie en , ce qui signifie que existe;
-la limite de quand tend vers doit exister;
-la limite de est égale à .
Limites des fonctions trigonométriques
On peut facilement montrer que:
Le et le sont des fonctions continues dans l’ensemble des réels.
On peut aussi prouver que:
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