Fonctions polynomiales
Nous avions déjà parlé d’un polynôme particulier, la fonction quadratique. Dans les prochains chapitres, nous allons enrichir notre connissance en abordant d’autres types de polynômes. Le seul objectif étant de nous permettre de pouvoir manipuler ces fonctions dans nos taches quotidiennes.
Ce site s’occupe plus de la pratique que de la théorie. Nous savons que le monôme peut être un nombre, une variable ou une combinaison des deux.
Un polynôme est un monôme ou une combinaison de monômes.
Dans cette function, , est le coefficient dominant, est le .Nous constatons aussi que est une constante.
Les exposants sont des nombres entiers tandis que les coefficients sont des nombre réels
Polynôme:
Pas un polynôme car certains exposants ne sont pas entiers:
Operations sur les polynômes:
Substitution:
Exemple:Evaluer: pour
Nous vons:
(1)
Addition et soustraction de polynômes
Pour faire l’addition ou la soustraction de polynômes,on fait l’addition ou la soustraction des termes semblables.
Add: and
Addition des termes semblables:
Multiplication des polynômes
Pour multiplier deux polynômes, on multiplie chauqe terme du premier par chaque terme du second.
Nous avons effectuer ce genre de multiplication dans les calculs des identités remarquables.
(2)
Mise en facteurs d’un polynôme
Une factorisation d’un polynôme consiste à l’écrire sous la forme de facteurs irreductibles
Exemple:
Factoriser
(3)
Ici en regroupant.
Un autre exemple:
Factoriser:
(4)
Fonction puissance:
Une fonction de la forme:
Avec cette fonction,le coefficient est un nombre réel , et est un entier.
Quelques propriétés importantes:
Si et est pair nous avons:-Une fonction . Symetrie par rapport à l’axe des y.-Le domaine est est l’ensemble des nombres nonnegatifs.
-Le graphique contient ces quelques points , and
Si et est impair:-La fonction est dite .
Ici il y a symétrie pa rapport à l’origine.-Le domaine est ici aussi l’ensmble de tous les réels.
-Le graphique contient ces quelques points , and
Trouver les zeros d’un polynôme
ZEROS REELS:
un polynôme de degré ne peut avoir un nombre de racines supérieur à
Exemple:
ne peut avoir un nombre de racines supérieur à 4.
Théorême des zeros rationnels:
Pour:
, si and
por tous les coefficients, lorsque est un zero de alors est un facteur de et un facteur de .
Exemple:
Nous avons les facteurs sont , ,,
the factors are ,
Nous essayons toutes les combinaisons
, , , ,
THEOREME: Une fonction polynomiale de degré impair ayant des coefficients réels a au moins un zero réel.
THEOREME: Pour une fonction polynomiale . si et si et sont de signes contraires, alors il existe au moins un zero de entre et .
Racines complexes:une fonction polynomiale complexe de degré a au moins un zero complexe.
Une fonction polynomiale de degré impair ayant des coefficients réels a au moins un zero réel.
TSolutions de la fonction cubique: Formule de Girolamo Cardano
Les considerations qui suivent vont nous aider à trouver les solutions de l’équation de troisième degré.
Nous examinerons des cas variés.
Solutions Trigonometriques:
On donne:
Reduisons l’équation
On procède à la substitution:
On obtient:
A noter que quand , on fait une simple deduction des 3 valeurs de à partir de .
Premier cas: Quand et
On obtient:
En remplaçant dans l’équation:
Une petite division donne:
Simplifions le premier membre:
(5)
Nous obtenons:
On porra alors trouver , and .
Second cas: Lorsque et
Nous posons:
La transformation donne:
et:
Troisième cas: Lorsque
Nous obtenons
La transformation donne:
Et:
Méthode trigonométrique pour les complexes conjugués:
De la forme
Avec
Prmier cas: Avec
On Calcule and
Alors
les valeurs de :
Pour les valeurs de on effectue
Second cas:Avec
On cherche and
Alors:
Les valeurs de :
Pour On effectue
Autres Chemins:
On utilise un cheminement similaire mais avec plus de détails:
On procède de la même façon.
Nous avons
La forme
On cherche et
Et puis
Ensuite nous cherchons et
On en déduit les 3 racines:
Avec D comme:
Si , Nous avons une racine réelle et 2 racines complexes.
Si , nous avons une racine et une racine double
Si , 3 racines réelles.
Exemples:
1.Trouver les solutions de :
Solution
Factorisant par
On a:
Factorisons:
(6)
En assemblant:
Cela veut dire que :
Chaque facteur vérifie l’égalité.
Les 5 solutions
Réponse:
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Signes des zeros d’un polynôme
Règle de Descartes
Si est une fonction polynomiale:
-Le nombre des zeros positifs réels de est soit égal au nombre de variations des signes des coefficients non-nuls de ou alors de ce nombre diminué d’un entier pair.
-Le nombre des zeros négatifs réels de est soit égal au nombre de variations des signes des coefficients non-nuls de ou alors de ce nombre diminué d’un entier pair.
Exemple:
-Au moins 5, 3 ou 1zeros positifs.(5 changements de signes)
-Pas de variation de signes de . Pas de racine négative.
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