Solutions de la Fonction Cubique
Beaucoup des cas qui suivent ont été déjà coverts.
Nous allons prendre le cas par cas de la fonction cubique et des solutions possibles.
Soit:
Une réduction de la fonction nous donne:
On utilise la substitution:
En simplifiant:
On met les termes semblables en facteurs et on élimine ceux qui s’ennulent.
En divisant par nous avons:
Et
L’Equation qui en résulte est:
A noter que quand , on peut simplement en déduire les 3 valeurs de des valeurs de .
Une situation idéale dans laquelle n’existe plus.
Posons:
On a:
Nous voyons que:
and pourra ennuler l’équation.
En élévant au cube:
Soit maintenant:
and
Nous avons:
Pour la résolution nous aurons:
If , the equation has one real root and 2 complex roots
If , the equation has one root and a double root
If , the equation has three real roots
Le Cas:
Racines complexes:
with
If
Nous obtenons:
Le Cas:
if
Si
Le Cas:
Qui signifie que:
Meaning
Nous obtenons les solutions suivantes:
Nous utilisons:
to get
Le Cas
Nous procedons comme suit:
Quand on remplace dans l’équation:
Une simple division donne:
Nous simplifions le membre de gauche:
(1)
On en déduit que:
Si nous posons:
De notre Equation nous aurons:
En remplaçant:
Les mêmes techniques nous donnent:
Remember
with
Les Solutions:
Nous pouvons en déduire les valeurs de .
Le Cas:
Avec
Nous obtenons:
La même transformation nous donne:
Et par la suite:
Avec
Nous obtenons
La même transformation nous donne:
Et puis:
Règle Générale por toutes les solutions y compris les complexes conjugués:
De l’Equation:
Avec:
Premier cas: Avec
On calcule and
Maintenant:
Les valeurs de :
Pour les valeurs de nous effectuons
Second cas: Avec
Nous calculons and
Maintenant:
Les valeurs de :
Pour les valeurs de nous effectuons
Exemple 1:
Trouver les solutions de:
Solution:
Au lieu de faire des essais multiples entre 72 et 10 avec leurs facteurs premiers, nous allons appliquer les méthodes ci-dessus.
Pour éviter les grands nombres, divisons l’équation par 10.
Nous avons:
Nous avons les coefficients suivants:
Calculons et
Gardons la forme fractionnaire pour ne pas perdre la précision.
Maintenant:
C’est le cas:
Utilisons la méthode équivalente:
in degrees
Les solutions:
Finalement les solutions sont:
Réponse: , and
Exemple 2:
Trouver les solutions de:
Solution:
Au lieu de faire des essais multiples entre 4 et 50 avec leurs facteurs premiers, nous allons appliquer les méthodes ci-dessus.
Pour éviter les grands nombres, divisons l’équation par 50.
Nous avons:
Nous avons les coefficients suivants:
Calculons and
On remplace
L’exposent n’existe plus.
Ici:
Examinons la valeur de
C’est le cas où
Nous avons les solutions suivantes:
Finalement les solutions sont:
Réponse: , and
Exemple 3:
Trouver les solutions de:
Solution:
Au lieu de faire des essais multiples entre 6 et 1 avec leurs facteurs premiers, nous allons appliquer les méthodes ci-dessus.
Nous avons les coefficients suivants:
Calculons and
On remplace:
Si , l’équation a une racine réelle et deux racines complexes.
Calculons and
Maintenant:
Les valeurs de :
Pour les valeurs de :
Nous avons
Finalement les solutions sont:
Réponse: , and
Autres méthodes par division
Voir les documents qui suivent:
Exemple 1:
Trouver les solutions de:
Solution:
Exemple 2:
Trouver les solutions de:
Solution:
Exemple 3:
Trouver les solutions de:
Solution:
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