Selections

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Un échantillon des types d’exercices que nous entendons résoudre, pour montrer comment des simples problèmes peuvent paraître difficiles.

Problème 1: Résoudre en x

2^{x} \cdot 6^{x-2}=5^{2x}\cdot 7^{1-x}

 

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: 2^{x}\cdot 6^{x-2}=5^{2x}\cdot 7^{1-x}“]

2^{x}\cdot 6^{x-2}=5^{2x}\cdot 7^{1-x}
x\ln 2+ (x-2)\ln 6=2x\ln 5+ (1-x)\ln 7
x \ln 2+ x\ln 6- 2\ln 6= x(2\ln 5)+\ln 7-x\ln7
x\left(\ln 2+\ln 6- 2\ln 5+ \ln 7 \right)=2\ln 6+ \ln 7

En isolant x:

x=\frac{\ln 36+ \ln 7}{\ln 2+ \ln 6- \ln 25 + \ln 7}

x= \frac{\ln (36\times 7)}{\ln (\frac{2\times 6 \times 7}{25})}

x=\frac{\ln 252}{\ln (\frac{84}{25})}

Finalement:

Réponse: \log_{\frac{84}{25}} 252

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Problème 2: On pose

x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}

Trouver (x-1)^{10}

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: (x-1)^{10}“]

x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}

Trouvons x-1

x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}-1

x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}-(\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2}))}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}

x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}

En simplifiant:

x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}

Nous avons:

x-1=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}

x-1=\frac{\sqrt{3}( \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}

Simplifions:

x-1=\frac{\sqrt{3}( \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})}

 

Nous avons:

x-1=\sqrt{3}

(x-1)^{10}=(\sqrt{3})^{10}

(x-1)^{10}=((\sqrt{3})^{2})^{5}

(x-1)^{10}=((\sqrt{3})^{2})^{5}

Finalement:

(x-1)^{10}=3^{5}

(x-1)^{10}=243

Réponse: (x-1)^{10}=243

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Problème 3: Résoudre en x

x^{3}-4x^{2}-3x+12=0

 Solution

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: {x}^{3}-4x^{2}-3x+12=0“]

{x}^{3}-4x^{2}-3x+12=0

Nous voyons les facteurs

{x}^{3}-4x^{2}-3x+12=x^{2}(x-4)-3(x-4)=(x^{2}-3)(x-4)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-4)

On peut dire:

(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-4)=0

Chaque facteur peut s’ennuler.

(x-\sqrt{3})=0 \Rightarrow x_{1}=\sqrt{3}

(x+\sqrt{3})=0 \Rightarrow x_{2}=-\sqrt{3}

(x-4)=0 \Rightarrow x_{3}=4

Racines: \{-\sqrt{3}\; , \sqrt{3}\; and\; 4\}

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Problème 4: Résoudre en x

15x^{3}+38x^{2}+17x+2=0

 Solution

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: 15x^{3}+38x^{2}+17x+2=0“]

 15x^{3}+38x^{2}+17x+2=0

En examinant les facteurs et ratios de 2 et 15 nous voyons que -2est une solution.

On divise::

\frac{15x^{3}+38x^{2}+17x+2}{x+2}=15x^{2}+8x+1

Onpeut maintenant trouver les racines de l’équation du second degré:

15x^{2}+8x+1=0

\Delta=64-60=4

\sqrt{\Delta}=2

x_{2}=\frac{-8+2}{2\times 15}=-\frac{1}{5}

x_{3}=\frac{-8-2}{2\times 15}=-\frac{1}{3}

 

Method Générale sans les facteurs de 2 et 15:

Nous avons:

p=-1.005925926

q=0.380620027

\Delta=-0.001481481

Cas:

\Delta<0

\cos 3\theta=-0.9801544601

\frac{\theta}{3}=0.9806784972

Nous obtenons les mêmes valeurs de x .

 

Racines: \{-2\; ,-\frac{1}{5}\; and \; -\frac{1}{3}\}

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Problème 5: Résoudre en x

18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2=0

 Solution

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: 18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2=0“]

18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2=0

Par inspection des faceurs de -2 et de 18 et leur rapports, nous voyons que -2 et \frac{1}{2} sont des rcaines de l’équation.

En les facorisant nous avons:

(x+2)(x-\frac{1}{2})=\frac{2x^{2}+3x-2}{2}

\frac{18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2}{2x^{2}+3x-2}=9x^{2}-6x+1

Résolvons:9x^{2}-6x+1=0

Racine double comme \Delta=0

x_{3}=x_{4}=\frac{1}{3}

Racines: \{-2\; ,\frac{1}{3}\; , \frac{1}{3}\; and \; \frac{1}{2}\}

[/item] [/accordion]

 

Problème 6: Résoudre en x

6x^{3}-29x^{2}-45x+18=0

 Solution

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de : 6x^{3}-29x^{2}-45x+18=0“]

6x^{3}-29x^{2}-45x+18=0

Nous voyons que 6 est une racinet:

\frac{6x^{3}-29x^{2}-45x+18}{x-6}=6x^{2}+7x-3

En factorisant:

6x^{2}+7x-3=6x^{2}+9x-2x-3=3x(2x+3)-1(2x+3)=(3x-1)(2x+3)

Nous obtenons:

6x^{3}-29x^{2}-45x+18=(x-6)(3x-1)(2x+3)

Tous les facteurs peuvent s’ennuler:

x-6=0 \Rightarrow x_{1}=6

3x-1=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{1}{3}

2x+3=0 \Rightarrow x_{3}=-\frac{3}{2}

Finalement:

Racines: \{-\frac{3}{2}\; ,\frac{1}{3}\; , \frac{1}{3}\; and \; 6\}

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Problème 7: Résoudre en x

3x^{3}+3x^{2}-4x+4=0

 Solution

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: 3x^{3}+3x^{2}-4x+4=0“]

3x^{3}+3x^{2}-4x+4=0

Nous voyons que -2 est une racine.

En divisant nous obtenons:

\frac{3x^{3}+3x^{2}-4x+4}{x+2}=3x^{2}-3x+2

La solution donne des racines complexes:

x_{2}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{15}}{6}

x_{3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{15}}{6}

 

Vérification avec la méthode générale:

p=-1.666666667

q=1.851851852

\Delta=0.6858710562

\sin \theta=0.4472135955

\frac{\theta}{2}=0.2318238045

\tan \phi=0.6180339887

2\phi=1.107148718

Les racines sont les mêmes.

Racines: \{-2\; ,\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{15}}{6}\; and \; \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{15}}{6}\}

[/item] [/accordion]

 

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