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Résolution d’Equations trigonometriques

December 23, 2016 Mouctar Trigonométrie 0

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Résolution d’Equations trigonometriques

Angle d’élevation:

On rencontre le mot “Angle d’Elevation” dans beaucoup de problèmes de trigonométrie.

L’angle d’élevation d’un objet est l’angle formé entre l’horizontale et la demie-droite passant par cet objet. Le sommet de l’angle étant le point d’observation ou oeil de l’observateur.

L’observateur lève la tête pour regarder l’objet

Sur cette figurel’ $\angle A$ ou $\angle \alpha$ constitue l’angle d’élevation.

Angle de depression:

L’angle de depression d’un objet est formé par l’horizontale passant par l’observateur et la demie-droite passant par l’objet.

Ici l’observateur doit regarder en bas pour voir l’objet.

Sur la figure l’ $\angle \beta$ ou $\angle C$ est l’angle de depression.

Formules du triangle rectangle

Nous avions vu ces formules avec le cercle trigonométrique.

La seule difference est que l’hypoténuse n’est pratiquement jamais égale à $1$ .

On peut cependant diviser tous les côtés par l’hypoténuse on aura:

Pour un angle non-droit du triangle:

$\sin \alpha=côté \; opposé$ pour le cercle trigonométrique.

$\cos \alpha=côté \; adjacent$ pour le cercle trigonométrique.

Ces deux formules deviennent:

$\sin \alpha=\frac{côté \; opposé}{hypoténuse}$

$\cos \alpha=\frac{côté \; adjacent}{hypoténuse}$

La tangente ne change pas:

$\tan \alpha=\frac{côté \; opposé}{côté \; adjacent}$

Beaucoup d’exercices en trigonométrie trouvent leur solution avec ces formules.

Ceci nous montre qu’en divisant un triangle quelconque en 2 triangles rectangles, on pourra trouver la solution en utilisant ces formules.

Fonctions trigonométriques inverses:

Toutes les fonctions trigonométriques ont leur inverse.

Ces fonctions sont de la forme:

Si $y=f(x)$ , On peut écrire cette coreespondance $x=f^{-1}(y)$ .

On y reviendra.

Pour $x=\sin y$ nous avons:

$y=\sin^{-1}x$ for $-1\leq x \leq 1$ and $-\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2}$

Nous avons la propriété:

$\sin (\sin^{-1}x)=\sin (\arcsin x)=x$ si $-1\leq x \leq 1$

$\sin^{-1}(\sin y)=\arcsin (\sin y)=y$ si $-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}$

Exemple:

Trouver $y$ pour:

$y=\sin^{-1}(\tan \frac{3\pi}{4})$

$\tan \frac{3\pi}{4}=-1$

$y=\sin^{-1} (-1)=-\frac{\pi}{2}$

Pour $x=\cos y$ nous avons:

$y=\cos^{-1}x$ for $-1\leq x \leq 1$ and $0\leq x \leq \pi$

A lire “y est l’inverse cosinus de x” ou arccosinus

Nous avons la propriété:

$\cos (\cos^{-1}x)=\cos (\arccos x)=x$ si $-1\leq x \leq 1$

$\cos^{-1}(\cos y)=\arccos (\cos y)=y$ si $0\leq y \leq \pi$

Pour $x=\tan y$ nous avons:

$y=\tan^{-1}x=\arctan x$ iff $x=\tan y$

Pour tout $x$ et pour $-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}$

A lire “y est l’inverse tangente de x” ou arctangente

Nous avons la propriété:

$\tan (\tan^{-1}x)=\tan (\arctan x)=x$ pour tout $x$

$\tan^{-1}(\tan y)=\arctan (\tan y)=y$ si $-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}$

Exemple:

Trouver la valeur de:

$y=\sin (\arctan \frac{1}{2}-\arccos \frac{4}{5})$

Si $x_1=\arctan \frac{1}{2}$ nous pouvons avoir $\tan x_1=\frac{1}{2}$

Ici l’hypoténuse est de $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ .

Maintenant :

$\sin x_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\cos x_1=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Si $x_2=\arccos \frac{4}{5}$ nous pouvons avoir $\cos x_2=\frac{4}{5}$

L’hypoténuse est de $5$ .

Maintenant:

$\sin x_2=\frac{3}{5}$

Nous avons besoin de $\sin (x_1-x_2)$

$\sin (x_1-x_2)=\sin x_1 \cos x_2-\cos x_1 \sin x_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{4}{5}-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{5}$

Après simplification nous aurons:

$y=\sin(\arctan \frac{1}{2}-\arccos \frac{4}{5})=-\frac{2\sqrt{5}}{25}$

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