Calculs d’Intégrale
Après avoir parcouru les techniques d’intégration, nous sommes prêts à utiliser les primitives dans des calculs pratiques.
L’intégrale défini s’utilise dans les calculs d’aires, de longueurs, de volumes et d’autres calculs qui ne peuvent s’effectuer par voie normale.
Nous supposons que les Sommes de Riemann ont été vues dans les classes et on passe directement aux calculs d’intégrales.
Définition Rapide: Somme de Rienman
Si une fonction est définie dans l’intervalle .
Définition:
Soit définie dans l’intervalle fermé et une division de
noté:
Quand est la subdivision.
Si est un point de la subdivision, alors la somme:
,
C’est la Somme de Riemann de pour la subdivision
Revenons au su.
Sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz avaient trouver un chemin facile pour l’évaluation des intégrales.
Si est une primitive continue sur dans l’intervalle , on peut écrire:
C’est aussi noté:
Théorème Fondamental du calcul intégral:
Si , et est une primitive :
Nous avons les propriétés suivantes:
Exemple:
C’est l’aire sous la courbe . Ici la courbe est une droite
Nous aurons aussi les propriétés suivantes:
Union d’Intervalles:
Si on peut écrire:
Théorème de la valeur moyenne:
La valeur moyenne d’une fonction ayant une primitive sur la valeur moyenne de est:
Aires d’intégration:
Les aires d’intégration peuvent se définir comme aires entre deux courbes. S’il n’y a pas une deuxième courbe, la seconde fonction est simplement la droite . On est dans le cas des aires sous la courbe.
Pour une courbe avec des aires positives et négative, de part et d’autre de l’axe des , nous devons soustraire l’aire négative pour la rendre positive.
Exemple:
Nous avons deux fonctions dont laire se trouve entre les deux point d’intersection:
Et
On peut simplement écrire:
(1)
Longeur d’une courbe:
Nous savons comment calculer la distance entre deux points et qui s’écrit:
Si nous avons une courbe et nous voulons connaître la longueur entre deux points et , on peut utiliser la somme de deux cordes courtes comme la corde .
Plus ces cordes deviennent petites, plus on se rapproche de la longueur réelle.
Si nous appelons et les variations de et de , la longueur de chaque petit segment peut se calculer par la formule de calcul de distances.
Quand et se rapprochent infiniment de sorte que tend vers , , On peut écrire: Avec
Finalement, la longueur de l’arc se note:
Exemple:
Soit le cercle
Trouver les formules de l’aire et de la circonférence en utilisant le calcul intégral.
Solution:
Dérivation implicite:
Mais:
Nous avons:
Pour l’aire:
Prenons le premier quadrant:
Soit
Nous aurons alors
Pour
For
Alors l’aire est:
Et comme nous 4 quadrants
Finalement l’aire du cercle:
Pour la circomference:
La même technique va s’imposer:
Pour les 4 quadrants:
La circonference sera:
Finally:
La circonference est de:
Théorème de Charles
Si nous calculons l’aire totale, on utilise la méthode suivante:
Aire Nette=Aire positive (au dessus de -Aire négative, en dessous de
Si l’intégrale est définie dans l’intervalle de sorte que l’on a une aire au dessus de et en dessous de , l’aire calculée est de:
Exemple: Trouver l’aire entre la courbe de et l’axe des sur
On calcule comme suit:
Aire Totale:
Si l’intégrale est définie sur l’intervalle et nous avons 2 aires qui est au dessus et qui est en dessous de , laire nette est de:
Il faut toujours examiner la courbe.
Aires entre Courbes:
Si et sont deux fonctions continues sur et , l’aire entre les deux courbes est:
Exemple:
Trouver l’aire entre les deux courbes qui suivent dans l’intervalle
Le graphe de sur l’intervalle:
Quand c’est une aire délimitée, nous devrons d’abord calculer les points d’intersection des deux courbes.
Aire composée entre deux courbes:
Lorsque les courbes se coupent en de multiples points, il sera nécessaire d’examiner les courbes et calculer les intégrales en tant que valeurs absolues de l’aire.
Régions complexes:
L’aire suivante est délimitée par la fonction et
On divise l’intégrale au niveau du point d’intersection.
Solides de revolution et Surface des aires
Si f(x) est une fonction positive sur l’intervalle .
Alors, la surface de l’aire de la surfacede revolution formée par la rotation du graphe de autour de l’axe des est donnée par:
Si nous prenons et faisons tourner autour de l’axe des
Exemple:
La droite est tournée autour de l’axe des sur l’intervalle
Trouver l’aire de la surface de Revolution:
Dans cette situation
Si on prend
On obtient:
Surface latérale du cylindre engendré.
Exemples:
Trouver l’aire de la surface et le volume engendré par la rotation autour de l’axe des , de la portion de la courbe de sur l’intervalle et
Solution
On peut utiliser:
On peut dire que:
Soit
Quand on a
Quand on a
Nouvelle équation:
Finalement:
Trouver l’aire de la surface et le volume engendré par la rotation autour de l’axe des , la portion de la courbe de
sur l’intervalle et
Solution
On peut utiliser:
On peut dire:
Soit
Quand on a
Quand on a
La nouvelle équation:
Finalement:
Solides de revolution et volumes
Lorsqu’on tourne une courbe regulière autour d’un axe, on engendre un solide de revolution.
Si, par exemple, on prend un demi-cercle que l’on fait tourner autour de son axe, on engendre simplement une sphère.
En effectuant une rotation complète d’un segment de droite autour d’un axe parallèle , on engendre un cylindre.
Le cône quant à lui peut se créer par la revolution d’une droite de forme autour de l’un des axes ( ou ).
Volume d’un cône:
Si on prend une droite avec comme pente.
Nous savons déjà que avec l’angle que forme la droite avec l’axe des .
Si l’on prend un point sur la droite, quand on effectue une revolution complète autour de l’axe des on observe clairement la reflection de autour de l’axe des qui est de . La distance est le diamètre du cercle de centre sur l’axe des .
Le cône de sommet et de hauteur est celui dont on peut trouver le volume de la façon suivante.
Si nous prenons deux points et sur la droite , on voit qu’ils décrivent deux cercles après une revolution complète.
Quand ces deux points se rapprochent infiniment de façon à rendre infiniment petit, , le volume de la portionentre les deux cercles peut s’écrire:
Soit , la hauteur du cône. Quand on additionne ces petits volumes, on obtient le volume total de notre cône:
Avec l’intégration:
, with the radius of the base
Volumes des solides de revolution:
La méthode ci-dessus peut être utilisée pour n’importe quelle courbe:
La revolution autour de l’axe des
Exemple :
Calculer le volume du frustum, en utilisant le calcul intégral :
Effectuons la revolution de autour de l’axe des
est la tangente:
Le volume:
Le volume :
Finalement :
Le volume du Frustum est :
Méthode des tranches
Méthode simple de calcul des volumes.
On cherche la forme de la section du solide.
On cherche la formule permettant de calculer l’aire de cette section et finalement on intègre sur l’intervalle qui couvre le solide.
C’est ce qu’on a utilisé dans le calcul des solides de revolution.
La méthode des disques:
On mesure l’aire sous la courbe et l’on la fait tourner autour de l’axe des .
On a vu cette méthode plus haut.
Ou autour de l’axe des
Méthodes de disques troués:
Utilisée pour des solides ayant une cavité au milieu.
Le volume dans ce cas:
Si et sont continues, positives telles que sur . la région délimitée en haut par le graphe de , et en bas par le graphe de .
Vers la gauche délimitée par et vers la droite par la droite .
Le Volume:
Exemple:
Trouver le volume obtenu par la rotation de laire entre les courbes et sur l’intervalle
Le graphe montre une cavité au milieu, qui diminue quand on se rapproche de
Méthode des tubes
La région la région délimitée en haut par le graphe de la fonction , en bas par l’axe des , sur la gauche et sur la droite par les droites and .
Une rotation autour de l’axe des donne un volume comme suit:
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